Cauchy yoğunlaşma testi

Matematikte Cauchy yoğunlaşma testi sonsuz seriler için kullanılan standard bir yakınsaklık testidir. Pozitif, monoton azalan bir f(n) dizisi için

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$

toplamı ancak ve ancak

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$

toplamı yakınsarsa, yakınsar. Dahası, bu durumda,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)<\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})<2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$

olur. Geometrik görüş toplama yamuklarla her ${\displaystyle 2^{n}}$ 'de yaklaşıldığıdır. Başka bir açıklama ise şudur: Sonlu toplamlarla integral arasındaki ilişkin bir analoğu gibi bir analoji terimlerin 'yoğunluğu' ile üstel fonksiyonun yerine konulmasıyla vardır. Bu da aşağıdaki şöyle örneklerle daha çok açık olabilir.

${\displaystyle f(n)=n^{-a}(\log n)^{-b}(\log \log n)^{-c}}$.

Burada seri kesinlikle a > 1 için yakınsar ve a < 1 için ıraksar. a = 1 olduğunda, yoğunluk dönüşümü ise

${\displaystyle \sum n^{-b}(\log n)^{-c}}$

serisini verir. Logaritmalar 'sola kayar'. Yani, a = 1 iken, b > 1 için yakınsaklık ve b < 1 için ıraksaklık vardır. b = 1 iken ise, c 'nin değeri devreye girer.

Dış bağlantılar

• Cauchy yoğunlaşma testinin kanıtı 25 Temmuz 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.