Catalan sabiti

Catalan sabiti matematikte bazen kombinatorik'te tahminler için kullanılır.Tanımı

G = β ( 2 ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) 2 = 1 1 2 − 1 3 2 + 1 5 2 − 1 7 2 + ⋯ {\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \!}

Burada β Dirichlet beta fonksiyonu'dur Sayısal değeri [1] yaklaşık olarak

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

G nin rasyonel veya irrasyonel olup olmadığı bilinmiyor. Catalan sabiti Eugène Charles Catalan onuruna atfedilmiştir.

Integral özdeşlikleri

Bazı eşitlikler arasında

G = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 1 + x 2 y 2 d x d y {\displaystyle G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\!}
G = − ∫ 0 1 ln ⁡ ( t ) 1 + t 2 d t {\displaystyle G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}}}\,dt\!}
G = ∫ 0 π / 4 t sin ⁡ ( t ) cos ⁡ ( t ) d t {\displaystyle G=\int _{0}^{\pi /4}{\frac {t}{\sin(t)\cos(t)}}\;dt\!}
G = 1 4 ∫ − π / 2 π / 2 t sin ⁡ ( t ) d t {\displaystyle G={\tfrac {1}{4}}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin(t)}}\;dt\!}
G = ∫ 0 π / 4 ln ⁡ ( cot ⁡ ( t ) ) d t {\displaystyle G=\int _{0}^{\pi /4}\ln(\cot(t))\,dt\!}
G = ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( e − t ) d t {\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }\arctan(e^{-t})\,dt\!}
G = ∫ 0 1 arctan ⁡ t t d t {\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt\!} .

ile birlikte

G = 1 2 ∫ 0 1 K ( x ) d x {\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx\!}

burada K(x) komplet eliptik integral'in ilk türüdür. ve

G = ∫ 0 1 arctan ⁡ x x d x {\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx\!} .

Kullanımı

Poligama fonksiyonu'ndan elde edilen ve trigama fonksiyonu olarak adlandırılan

kombinatorik'teki G nesnesinin fraksiyonel gösterimi;

ψ 1 ( 1 4 ) = π 2 + 8 G {\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G}
ψ 1 ( 3 4 ) = π 2 − 8 G . {\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G.}

şeklindedir.

Simon Plouffe π 2 {\displaystyle \pi ^{2}} ve Catalan sabiti arasında trigamma fonksiyonunun sonsuz sayıda eşdeğer koleksiyonun'un olduğunu grafik yolu ile gösterdi.

Ayrıca bu nesnenin hiperbolik sekant dağılımı ile de bağlantısı vardır

Hızlı yakınsak seri

sayısal hesaplama için kolay olan birbirini izleyen iki hızlı yakınsak seri

G = {\displaystyle G=\,} 3 ∑ n = 0 ∞ 1 2 4 n ( − 1 2 ( 8 n + 2 ) 2 + 1 2 2 ( 8 n + 3 ) 2 − 1 2 3 ( 8 n + 5 ) 2 + 1 2 3 ( 8 n + 6 ) 2 − 1 2 4 ( 8 n + 7 ) 2 + 1 2 ( 8 n + 1 ) 2 ) − {\displaystyle 3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-}
2 ∑ n = 0 ∞ 1 2 12 n ( 1 2 4 ( 8 n + 2 ) 2 + 1 2 6 ( 8 n + 3 ) 2 − 1 2 9 ( 8 n + 5 ) 2 − 1 2 10 ( 8 n + 6 ) 2 − 1 2 12 ( 8 n + 7 ) 2 + 1 2 3 ( 8 n + 1 ) 2 ) {\displaystyle 2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)}

ve

G = π 8 log ⁡ ( 3 + 2 ) + 3 8 ∑ n = 0 ∞ ( n ! ) 2 ( 2 n ) ! ( 2 n + 1 ) 2 . {\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\log({\sqrt {3}}+2)+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}.}

Bunun teoretik çıkarımı Broadhurst tarafından verilmiştir.

Basamaklardaki rakamların çıkarımı

Catalan sabiti G nin rakamlarını bulmak için son yıllarda çarpıcı bir artış var.Bunun için yüksek performanslı bilgasayarlar ve güçlü algoritmalar geliştiriliyor.[1]

G nin onluk sistemde bilinen rakam sayısı
Tarih Onluk sistem Çaba harcayanlar
1877 20 James W. L. Glaisher
1913 32 James W. L. Glaisher
1990 20,000 Greg J. Fee
1996 50,000 Greg J. Fee
August 14, 1996 100,000 Greg J. Fee & Simon Plouffe
September 29, 1996 300,000 Thomas Papanikolaou
1996 1,500,000 Thomas Papanikolaou
1997 3,379,957 Patrick Demichel
January 4, 1998 12,500,000 Xavier Gourdon
2001 100,000,500 Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2002 201,000,000 Xavier Gourdon & Pascal Sebah
October 2006 5,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[2]
August 2008 10,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[3]
January 31, 2009 15,510,000,000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[4]
April 16, 2009 31,026,000,000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[4]

Ayrıca bakınız

  • Zeta sabiti

Notlar

  1. ^ Gourdon, X., Sebah, P; Constants and Records of Computation 15 Ocak 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  2. ^ "Shigeru Kondo's website". 11 Şubat 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 25 Ağustos 2009. 
  3. ^ "Constants and Records of Computation". 15 Ocak 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 25 Ağustos 2009. 
  4. ^ a b "Large Computations". 9 Aralık 2009 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 25 Ağustos 2009. 

Kaynakça

  • Victor Adamchik, 33 representations for Catalan's constant 24 Haziran 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (undated)
  • Victor Adamchik, A certain series associated with Catalan's constant 16 Mart 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., (2002) Zeitschrift fuer Analysis und ihre Anwendungen (ZAA), 21, pp. 1–10.
  • Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan 20 Nisan 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., (1993) (Provides over one hundred different identities).
  • Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi^2 21 Nisan 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., (1999) (Provides a graphical interpretation of the relations)
  • Eric W. Weisstein, Catalan's Constant (MathWorld)
  • Catalan constant: Generalized power series 13 Ekim 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at the Wolfram Functions Site
  • Greg Fee, Catalan's Constant (Ramanujan's Formula) 24 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (1996) (Provides the first 300,000 digits of Catalan's constant.).