Carmichael sayıları

Sayılar teorisinde bir Carmichael sayısı, modüler aritmetikte tüm b {\displaystyle b} tam sayıları için[1] kongrüans uyumunu sağlayan bileşik bir n {\displaystyle n} sayısıdır:[1]

b n ≡ b ( mod n ) {\displaystyle b^{n}\equiv b{\pmod {n}}}

İlişki ayrıca, n {\displaystyle n} ile aralarında asal tüm b {\displaystyle b} tam sayıları için aşağıdaki formda da ifade edilebilir:[2] b n − 1 ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle b^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}} .

Carmichael sayıları, adını Amerikalı matematikçi Robert Carmichael'den alır; bu terim 1950'de Nicolaas Beeger tarafından ortaya atılmıştır ( Øystein Ore, 1948'de bunlardan "Fermat özelliğine" sahip sayılar veya kısaca " F sayıları" olarak söz etmişti[3]). Carmichael sayıları sonsuzdur.[4]

Robert Daniel Carmichael

Carmichael sayıları, Fermat'ın Küçük Teoreminin tam tersinin (kongrüans uyumunu sağlayan tüm n {\displaystyle n} tamsayılarının asal olması) geçerli olmasını engelleyen nispeten nadir örneklerdir. Bu sayılar, bu teoremin mutlak bir asallık testi olarak kullanılmasını engeller.[5]

Carmichael sayıları Knödel sayılarının K 1 alt kümesini oluşturur.

Notlar

  1. ^ a b Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. Progress in Mathematics. 126. Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3743-9. 
  2. ^ Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005). Prime Numbers: A Computational Perspective. second. New York: Springer. s. 133. ISBN 978-0387-25282-7. 
  3. ^ Ore, Øystein (1948). Number Theory and Its History. New York: McGraw-Hill. ss. 331-332 – Internet Archive vasıtasıyla. 
  4. ^ Andrew Granville; Carl Pomerance (1994). "There are Infinitely Many Carmichael Numbers" (PDF). Annals of Mathematics. 140 (3): 703-722. doi:10.2307/2118576. 4 Mart 2005 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.  Birden fazla yazar-name-list parameters kullanıldı (yardım); Yazar eksik |soyadı1= (yardım)
  5. ^ Cepelewicz, Jordana (13 Ekim 2022). "Teenager Solves Stubborn Riddle About Prime Number Look-Alikes". Quanta Magazine. 13 Ekim 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 13 Ekim 2022. 

Kaynaklar

  • Carmichael, R. D. (1910). "Note on a new number theory function". Bulletin of the American Mathematical Society. 16 (5): 232-238. doi:10.1090/s0002-9904-1910-01892-9. 
  • Carmichael, R. D. (1912). "On composite numbers P which satisfy the Fermat congruence a P − 1 ≡ 1 mod P {\displaystyle a^{P-1}\equiv 1{\bmod {P}}} ". American Mathematical Monthly. 19 (2): 22-27. doi:10.2307/2972687. 
  • Chernick, J. (1939). "On Fermat's simple theorem" (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 45 (4): 269-274. doi:10.1090/S0002-9904-1939-06953-X. 
  • Korselt, A. R. (1899). "Problème chinois". L'Intermédiaire des Mathématiciens. 6: 142-143. 
  • Löh, G.; Niebuhr, W. (1996). "A new algorithm for constructing large Carmichael numbers" (PDF). Math. Comp. 65 (214): 823-836. doi:10.1090/S0025-5718-96-00692-8. 25 Nisan 2003 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. 
  • Ribenboim, P. (1989). The Book of Prime Number Records. Springer. ISBN 978-0-387-97042-4. 
  • Šimerka, V. (1885). "Zbytky z arithmetické posloupnosti (On the remainders of an arithmetic progression)". Časopis Pro Pěstování Matematiky a Fysiky. 14 (5): 221-225. doi:10.21136/CPMF.1885.122245.