Boşuzay

Doğrusal cebirde, bir ${\displaystyle M}$ matrisinin boşuzayı (kernel, null space) ${\displaystyle Mx={\textbf {0}}}$ bağıntısını sağlayan tüm ${\displaystyle x}$ vektörlerinin oluşturduğu kümedir.^[1] Bir ${\displaystyle M}$ matrisinin 'boşuzay' boyutu, ${\displaystyle M}$ matrisine çarpıldığında sıfır sonucunu veren birbirinden bağımsız ${\displaystyle x}$ yöneylerine göre hesaplanır.

Tanım

m × n boyutlarına sahip bir ${\displaystyle M}$ matrisinin boşuzay kümesi aşağıdaki şekilde gösterilir:

${\displaystyle {\mbox{Null}}(M)={\mbox{Ker}}(M)=\left\{x\in \mathbb {C} ^{n}:Mx={\textbf {0}}\right\}{\text{,}}}$

burada ${\displaystyle {\textbf {0}}}$, m bileşenli bir sıfır vektörüne karşılık gelmektedir. ${\displaystyle Mx}$ = ${\displaystyle {\textbf {0}}}$ şeklindeki matris denklemi aşağıdaki türdeş denklemler sistemi ile ayrı ayrı yazılabilir:^[2]

${\displaystyle Mx={\textbf {0}}\;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{6}M_{11}x_{1}&&\;+\;&&M_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&M_{1n}x_{n}&&\;=0&\\M_{21}x_{1}&&\;+\;&&M_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&M_{2n}x_{n}&&\;=0&\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&\vdots \,&\\M_{m1}x_{1}&&\;+\;&&M_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&M_{mn}x_{n}&&\;=0.&\end{alignedat}}}$

${\displaystyle M}$ matrisinin boşuzayı yukarıdaki denklem sisteminin çözümü ile elde edilir.

Örnek

Aşağıdaki ${\displaystyle M}$ matrisini düşünelim

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.}$

Bu ${\displaystyle M}$ matrisinin boşuzayını bulmak için, (x, y, z) ∈ ${\displaystyle R}$³ üç boyutlu x-y-z uzayında aşağıdaki yazımı kullanabiliriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}{\text{.}}}$

Yukardaki denklemi x, y ve z cinsinden aşağıdaki gibi ayrı ayrı yazabiliriz:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&3y&&\;+\;&&5z&&\;=\;&&0,\\-4x&&\;+\;&&2y&&\;+\;&&3z&&\;=\;&&0.\\\end{alignedat}}}$

Yukarıdaki denlemler çözüldüğünde

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.}$

çözüm sistemi bulunur. Çözülen denklemler iki tane ve bilinmeyen üç tane olduğundan, c çarpanı herhangi bir şey olmak üzere yukarıdaki gösterim çözümleri gösterir.

Kaynakça