Bidördey

Soyut cebirde, bidördeyler ${\displaystyle w+xi+yj+zk}$ sayılarıdır. Klasik dördeylere benzese de ${\displaystyle w,x,y,z}$ sayıları reel sayılar değil karmaşık sayılar kümesinin elemanlarıdır. Bir başka deyişle, dördey grubu elemanları olan ${\displaystyle 1,i,j,k}$ elemanlarının katsayıları reel sayılar kümesinin elemanları değil karmaşık sayılar kümesinin elemanlarıdır.

Aşağıda dördey grubu elemanlarının katsayıları olabilecek 3 tip sayı vardır.

• Elemanların katsayıları karmaşık sayı olduğunda sayımız bidördey olur.
• Elemanların katsayıları bölünmüş karmaşık sayılar olursa sayı bölünmüş dördey olur.
• Elemanların katsayıları ikili sayılar olursa sayı ikili dördey olur.

Bidördey ismi 1844 yılında Willam Rowan Hamilton tarafından konulmuştur.

Bidördeyin cebri ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \otimes \scriptstyle \mathbb {H} }$ tensör çarpımı olarak da düşünülebilir. Burada ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$ karmaşık sayılar kümesini ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$ dördey kümesini temsil ediyor. Aslında kısaca dördeylerin karmaşıklaştırılması ile de bidördeyler oluşur denilebilir.

Açıklama

${\displaystyle (1,i,j,k)}$ dördey kümesinin birim temsilcileri ve ${\displaystyle w,x,y,z}$ kompleks sayılar olsun. O halde

${\displaystyle q=w+xi+yj+zk}$

sayısı bir bidördeydir.

Hamilton, normal dördeylerde kullanılan kavramları genişletmek için bivektör, bieşlenik, bitensör ve biversör terimleri tanıttı.

Hamilton'un bidördeyler hakkındaki ilk sergisi 1853 yılında Dördeyler Üzerine derslerinde geldi. 1866 yılında Hamilton'un oğlu Willam Edwin Hamilton ve 1899 yılında Charles Jasper Joly tarafından yapılan Dördeylerin Elementleri’nin baskıları bidördey kapsamını gerçek dördeyler lehine azalttı.

Cebirsel Yapılar

Bieşlenik

Bidördeylerin 2 tane eşleniği vardır.

• Bieşlenik ya da bivektörün biskalerden çıkarılması;

${\displaystyle q*=w-xi-yj-zk}$

• Bidördeyin katsayılarının karmaşık eşleniği:

${\displaystyle q*=w*+x*i+y*j+z*k}$

burada; ${\displaystyle z*=a-bh}$, ${\displaystyle z=a+bh}$ ve ${\displaystyle a,b\in \Re }$, ${\displaystyle h^{2}=-1}$'dir

Bivektör

Kompleks bivektör bidördeyin vektör ksımıdır.${\displaystyle q=w+xi+yj+zk}$ bidördeyi için ${\displaystyle w}$, biskaler, ${\displaystyle xi+yj+zk}$ bivektör kısmını temsil ediyor.

Bidördey Analizi

Dördey analizindeki uygulamaları bidördeylere genişletir.