Çarpma kuralı

Çarpma kuralı iki veya daha fazla fonksiyonun çarpımının türevinin hesaplanmasında kullanılan bir yöntemdir. Kuralı Gottfried Leibniz türettiği için bu kural Leibniz kuralı olarak da geçer. Kuralın matematiksel ifadesi f ve g sırasıyla f(x) ve g(x) ifadelerinin kapalı formu olmak üzere şöyle verilir:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(fg)=\left({\frac {df}{dx}}\right)g+f\left({\frac {dg}{dx}}\right)}$

İspat

Türevin tanımı kullanılarak iki fonksiyonun çarpımının türevine bakılırsa

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{\frac {d}{dx}}(fg)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}g(x+h){\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+f(x){\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=g(x)f'(x)+f(x)g'(x)\\\end{alignedat}}}$

Kalkülüs
Temel Kalkülüsün temel teoremi Limit Süreklilik Ortalama değer teoremi
Türev Çarpma kuralı Bölme kuralı Zincir kuralı Örtülü türev Taylor teoremi Bağımlı oranlar Türev listesi L'Hopital kuralı Diferansiyel denklemler
İntegral İntegral tablosu Has olmayan integral İntegralle hacim hesabı İntegral Alma Yöntemleri: Kısmi İntegrasyon değişken değiştirme
Çok değişkenli Kısmi türev Çokkatlı integral Çizgi integrali Yüzey integrali Hacim integrali
Vektör hesabı Matris Tensör Jacobi Hesse Gradyan
g t d

Genelleme

F fonksiyonu N tane birbirinden farklı ancak aynı değişkene bağlı fonksiyonun çarpımı olsun.

${\displaystyle F(x)=\prod _{i=1}^{N}f_{i}(x)}$

Bu ifadenin türevi yukarıda yapılan ispata dayanılarak şu şekilde gösterilir:

${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=\sum _{k=1}^{N}f_{k}'\prod _{i\neq k}^{N}f_{i}}$

Çarpımın ifadesindeki i, 1 'den N 'ye kadar k hariç her değeri alır.