Stegfunktion

En stegfunktion eller trappfunktion är en styckvis konstant funktion. I definitionen nedan är ser man att stegfunktioner kan uttryckas som ändliga linjärkombinationer av mycket enkla funktioner.

Trappfunktioner används vid definitionen av Riemannintegralen.

Definition

En funktion ${\displaystyle f(x)}$ är en stegfunktion om det finns reella tal ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$ och funktioner ${\displaystyle p_{1}(x),p_{2}(x),\dots ,p_{n}(x)}$ sådana att

• ${\displaystyle x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}}$
• ${\displaystyle p_{i}(x)=\left\{{\begin{matrix}0,&om\;x<x_{i-1}\\1,&om\;x\geq x_{i}\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\cdot p_{i}(x)}$

Detta kan även formuleras som att ${\displaystyle f(x)}$ kan skrivas

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}\chi _{I_{i}}}$

där ${\displaystyle \chi _{I_{i}}}$ där är indikatorfunktionen för intervallet ${\displaystyle I_{i}}$.

Enhetsstegfunktionen

Ett exempel på en stegfunktion är enhetsstegfunktionen eller Heavisides stegfunktion eller Heavisidefunktionen. Det är den funktion ${\displaystyle u(x)}$ (även betecknad H(x), ${\displaystyle \chi (x)}$ eller ${\displaystyle \theta (x)}$) som antar värdet 0 då ${\displaystyle x<0}$ och värdet 1 då ${\displaystyle x>0}$ (vad den antar för värde i ${\displaystyle x=0}$ är oftast oväsentligt och definieras därmed endast om så behövs).

Ibland används omskrivningen att ${\displaystyle H(x)=1/2(\operatorname {sgn} x+1)}$, där sgn är signumfunktionen.

Se även

• Enkel funktion

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Stegfunktion.
  Bilder & media