Serie (matematik)

En serie är inom matematiken en summa av ett oändligt antal termer.[1][2]

Om termerna närmar sig noll tillräckligt fort kan summan av en serie vara ändlig, även om antalet termer är oändligt. Man säger då att den konvergerar.

Termerna i serien utgörs oftast av olika typer av matematiska uttryck som beror på ordningstalet i serien.

Definition

En series värde definieras som gränsvärdet av ett antal delsummor. För en oändlig talföljd an definieras värdet av serien Σnan som[1][2]

∑ n = 0 ∞ a n = lim k → ∞ ∑ n = 0 k a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{k\rightarrow \infty }\sum _{n=0}^{k}a_{n}}

där

s k = ∑ n = 0 k a n {\displaystyle s_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}}

är en delsumma. Om gränsvärdet inte existerar sägs serien divergera.

Ett exempel är talföljden an=1/2n, som har delsummor s0=1; s1=1+0,5=1,5; s2=1+0,5+0,25=1,75...; man kan visa att sk=2-1/2k och att den tillhörande serien därmed konvergerar

∑ n = 0 ∞ 1 2 n = 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}=2}

Det finns serier som är divergenta i den vanliga meningen men ändå tilldelas en summa med hjälp av andra, svagare, definitioner av en series summa. Bland dessa kan nämnas Cesàrosummering, Abelsummering och Borelsummering. Även analytisk fortsättning kan användas för att tilldela serier summor.

Se även

  • Fourierserie
  • Teleskoperande serie
  • Harmoniska serien
  • Potensserie

Referenser och noter

  1. ^ [a b] Persson, Arne; Böiers, Lars-Christer (2001). Analys i en variabel (2. uppl.). Lund: Studentlitteratur. sid. 170-171. Libris 8353145. ISBN 9144020562 
  2. ^ [a b] Eriksson, Folke; Larsson, Eric; Wahde, Gösta (1996). Matematisk analys med tillämpningar, Del 3 (2. [rev.] uppl.). Göteborg. sid. 44-45. Libris 1887836 

Vidare läsning

  • Persson, Arne; Böiers Lars-Christer (2001). Analys i en variabel (2. uppl.). Lund: Studentlitteratur. Libris 8353145. ISBN 9144020562 
  • Spanne, Sven (2005). System och transformer. I, Tidsdiskreta lineära system och komplex analys. Lund: Matematikcentrum, Lunds tekniska högskola. Libris 10303365 
v • r
Serier och följder
Heltalsföljder
Grundläggande
Aritmetisk följd · Geometrisk följd · Harmonisk följd · Kvadrattal · Kubiktal · Fakultet · Tvåpotens · Trepotens · Tiopotens
Avancerade
Fullständig följd · Fibonaccital · Figurtal · Heptagontal · Hexagontal · Lucastal · Pelltal · Pentagontal · Polygontal · Triangeltal
Fibonaccispiralen med kvadratiska storlekar upp till 34
Följders egenskaper
Cauchyföljd · Monoton följd · Periodisk följd
Seriers egenskaper
Konvergenta serier · Divergenta serier · Betingad konvergens · Absolutkonvergens · Likformig konvergens · Alternerande serie · Teleskoperande serie
Rättframma serier
Konvergerande
1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ · 1 + 1/2s+ 1/3s + ... (Riemanns zetafunktion)
Divergerande
1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ · 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ · 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ · 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandis serie) · Oändlig aritmetisk följd · 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ · 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ · 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (Harmoniska serien) · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ · 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inversen av primtalen)
Typer av serier
Taylorserie · Potensserie · Formell potensserie · Laurentserie · Puiseuxserie · Dirichletserie · Trigonometrisk serie · Fourierserie · Genererande serie
Hypergeometriska serier
Generaliserad hypergeometrisk funktion · Hypergeometrisk funktion av matrisargument · Hypergeometrisk serie · Lauricella-hypergeometrisk serie · Modulär hypergeometrisk serie · Riemanns differentialekvation · Elliptisk hypergeometrisk serie
Kategori Kategori