Sannolikhetsrum

Ett sannolikhetsrum är inom sannolikhetsteori ett begrepp som samlar ihop begreppen utfall, händelse och sannolikhet. Sannolikhetsrum definierades av Andrej Kolmogorov under 1930-talet.

Definition

Låt ${\displaystyle \Omega \,}$ vara en icke-tom mängd och ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ en sigma-algebra i ${\displaystyle \Omega \,}$. En funktion ${\displaystyle \mathbb {P} :{\mathcal {F}}\longrightarrow [0,1]}$ är ett sannolikhetsmått eller sannolikhet på sigma-algebran ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ om den besitter de två egenskaperna:

• Funktionen ${\displaystyle \mathbb {P} }$ är ett mått
• ${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega )=1.}$

Ett sannolikhetsrum är en trippel ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$. ${\displaystyle \Omega \,}$ är utfallsrummet och elementen i sigma-algebran kallas händelser.

Notera att ett sannolikhetsmått är en reellvärd mängdfunktion, eftersom den avbildar en mängd, ${\displaystyle A\subseteq \Omega }$, på ett reellt tal, ${\displaystyle \mathbb {P} (A)}$ (sannolikheten för händelsen A).

Två händelser A och B kallas för varandras komplementhändelser om de är disjunkta och deras union är hela utfallsrummet.

Tillämpningar

Sannolikhetsrum är en effektiv struktur för att beskriva många praktiska sannolikhetsproblemen.

Klassiska sannolikhetsrum

Huvudartikel: Klassisk sannolikhetsdefinition

Man kan beskriva den klassiska sannolikhetsdefinitionen med ett sannoklikhetsrum. Då blir utfallsrummet

${\displaystyle \Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},...,\omega _{n}\}\,,}$

där ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ och sannolikhetsmåttet är ${\displaystyle \mathbb {P} :{\mathcal {P}}(\Omega )\longrightarrow [0,1]}$,

${\displaystyle \mathbb {P} (A)={\frac {|A|}{n}},}$

där ${\displaystyle |A|}$ är kardinaliteten för mängden A.

Geometriska sannolikhetrum

Huvudartikel: Geometrisk sannolikhetsdefinition

Om ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ är ett måttrum där ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$ kan man definiera ett sannolikhetsmått ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mu }:{\mathcal {F}}\longrightarrow [0,1]}$,

${\displaystyle \mathbb {P} _{\mu }(A):={\frac {\mu (A)}{\mu (X)}}.}$

Det geometriska sannolikhetsrummet för måttet ${\displaystyle \mu \,}$ är en trippel ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} _{\mu })}$.

Ofta använder man 1-, 2- eller 3-dimensionella Lebesguemåttet i mängden.

Om ${\displaystyle |X|<\infty }$, ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(X)}$ och ${\displaystyle \mu =|\cdot |\,}$ (kardinalitet som är ett mått), så är den geometriska sannolikheten samma som klassiska sannolikheten.

Sannolikhetsfördelningrum

Huvudartikel: Sannolikhetsfördelning

Man kan beskriva sannolikhetsfördelningar med ett sannoklikhetsrum. Låt ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ vara ett sannolikhetsrum och ${\displaystyle X:\Omega \longrightarrow \mathbb {R} }$ en stokastisk variabel. Sannolikhetsfördelningrummet för X är

${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ,\mathbb {P} _{X})\,,}$

där

${\displaystyle \mathbb {P} _{X}:=X_{\#}\mathbb {P} \,,}$

dvs utfallsrummet är reella talen, händelserna är Borelmängder och sannolikhetsmåttet är ${\displaystyle \mathbb {P} }$:s bildmått ${\displaystyle X_{\#}\mathbb {P} }$ med avseende på X och kallas X:s sannolikhetsfördelning.

Förteckningar

Bara med måtteoretiska definitioner man kan definiera många naturlig förteckningar inom sannolikhetsteori.

Stokastisk variabel

Huvudartikel: Stokastisk variabel

En stokastisk variabel är en mätbar funktion med avseende på sannolikhetmåttet.

Mer precist, låt ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ vara ett sannolikhetsrum. En funktion ${\displaystyle X:\Omega \longrightarrow \mathbb {R} }$ är en stokastisk variabel om

${\displaystyle X^{-1}(B)\in {\mathcal {F}}}$ för alla Borelmängder ${\displaystyle B\in {\mbox{Bor}}\mathbb {R} .}$

Detta innebär att en funktion ${\displaystyle X\,}$ är ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-mätbara.

Väntevärde

Huvudartikel: Väntevärde

Väntevärde för en stokastisk variabel är en måttintegral med avseende på sannolikhetmåttet.

Mer precist, om låt ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ vara ett sannolikhetsrum. Om ${\displaystyle X:\Omega \longrightarrow \mathbb {R} }$ är en stokastisk variabel så är en väntevärde för X ett tal

${\displaystyle \mathbb {E} (X):=\int \limits _{\Omega }\,X\,d\mathbb {P} }$.

Här är ${\displaystyle \int d\mathbb {P} }$ en måttintegral med avseende på måttet ${\displaystyle \mathbb {P} }$.

Varians och kovarians

Huvudartiklar: Varians och kovarians

Man kan definiera en varians och en kovarians om man vet väntevärdet.

Variansen för ett stokastisk variabel ${\displaystyle X:\Omega \longrightarrow \mathbb {R} }$, med ${\displaystyle \mathbb {E} (X^{2})<\infty }$, är talet

${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}(X):=\mathbb {E} (X-\mathbb {E} (X))^{2}}$,

och kovarians mellan två stokastiska variabeler ${\displaystyle X,Y:\Omega \longrightarrow \mathbb {R} }$ är ett tal

${\displaystyle {\mbox{Cov}}(X,Y):=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} (X))(Y-\mathbb {E} (Y))]}$.

Konvergenssatser

Eftersom sannolikhetsmåttet är ett mått och stokastiska variabeler är mätbara får man alla konvergenssatser också för sannolikhetsrummet.

Händelsekonvergenssatsen:

• Om ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq ...}$ är händelser så är

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mathbb {P} (A_{i})}$.

• Om ${\displaystyle B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq B_{3}\supseteq ...}$ är händelser så är

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }B_{i}\right)=\lim _{i\rightarrow \infty }\mathbb {P} (B_{i})}$.

Fatous lemma: om ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ är stokastiska variabler får man att

${\displaystyle \mathbb {E} (\liminf _{n\rightarrow \infty }X_{n})\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} (X_{n}).}$

Monotona konvergenssatsen: om ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ är stokastiska variabler med ${\displaystyle \mathbb {P} (\{X_{1}\leq X_{2}\leq ...\})=1}$ finns det ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {E} (X_{n})}$ och

${\displaystyle \mathbb {E} (\lim _{n\rightarrow \infty }X_{n})=\lim _{n\to \infty }\mathbb {E} (X_{n}).}$

Dominerade konvergenssatsen: om ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ och ${\displaystyle X\,}$ är stokastiska variabler med ${\displaystyle \mathbb {P} (\{|X_{n}|\leq X\})=1}$ för alla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ och ${\displaystyle \mathbb {E} (X)<\infty }$ finns det ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {E} (X_{n})}$ och

${\displaystyle \mathbb {E} (\lim _{n\rightarrow \infty }X_{n})=\lim _{n\to \infty }\mathbb {E} (X_{n}).}$

Se även

• Måtteori