Hölderkontinuitet

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Inom matematik säges en funktion f på ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ vara Hölderkontinuerlig eller uppfylla ett Höldervillkor om det finns konstanter C och ${\displaystyle \alpha }$ så att

${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} ^{d},~~|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }.}$

Detta kan generaliseras till funktioner mellan metriska rum; om g är en funktion från metriska rummet ${\displaystyle (X,d_{X})}$ till ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ är g Hölderkontinuerlig om det finns konstanter C och ${\displaystyle \alpha }$ så att:

${\displaystyle \forall x,y\in X,~~d_{Y}(f(x),f(y))\leq C(d_{X}(x,y))^{\alpha }.}$

Speciellt, om ${\displaystyle \alpha =1}$ är funktionen Lipschitzkontinuerlig och om ${\displaystyle \alpha =0}$ är funktionen en begränsad funktion.

Inom funktionalanalys studeras Hölderrum i syfte att lösa partiella differentialekvationer. Hölderrummet ${\displaystyle C^{n,\alpha }(\Omega )}$, där ${\displaystyle \Omega }$ är en öppen delmängd till något euklidiskt rum och n något naturligt tal, består av funktioner som har derivator upp till ordning n så att n:te ordningens partiella derivatorer är Hölderkontinuerliga med exponent ${\displaystyle \alpha }$, där ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$.