Eulertal

 Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-04)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.
Den här artikeln handlar om den matematiska heltalsföljden. För det dimensionslösa talet, se Eulertal (fysik).

Eulertalen är heltalsföljd som förekommer i samband med Taylorserier samt i talteori och kombinatorik. Dessvärre finns flera olika konventioner för vad som avses med det n-te Eulertalet: ofta tar man med nollor och negativa tecken i sekvensen, för vilket beteckningen En kommer att användas i följande text, medan man i andra tillämpningar bara är intresserad av de nollskilda Eulertalens absolutvärden (här E*n). Med nämnda beteckningar gäller

E*1 = 1
E*2 = 5
E*3 = 61
E*4 = 1385
E*5 = 50521
E*6 = 2702765
E*7 = 199360981
E*8 = 19391512145
E*9 = 2404879675441
E*10 = 370371188237525
E*11 = 69348874393137901

(talföljd A000364 i OEIS)

E0 = 1
E2 = −1
E4 = 5
E6 = −61
E8 = 1385
E10 = −50521
E12 = 2702765
E14 = −199360981
E16 = 19391512145
 
E1, 3, 5, ... = 0

(talföljd A122045 i OEIS)

och sambandet

E 2 n = ( − 1 ) n E n ∗ . {\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n}E_{n}^{*}.}

Talen definieras av de genererande funktionerna

s e c x = ∑ k = 0 ∞ | E k | x k k ! = ∑ k = 0 ∞ E k ∗ x 2 k ( 2 k ) ! = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + 61 x 6 720 + 277 x 8 8064 + … {\displaystyle \mathrm {sec} \;x=\sum _{k=0}^{\infty }|E_{k}|{\frac {x^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }E_{k}^{*}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}+\ldots }
s e c h x = ∑ k = 0 ∞ E k x k k ! = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k E k ∗ x 2 k ( 2 k ) ! = 1 − x 2 2 + 5 x 4 24 − 61 x 6 720 + 277 x 8 8064 − … {\displaystyle \mathrm {sech} \;x=\sum _{k=0}^{\infty }E_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}E_{k}^{*}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}-\ldots }

där sec betecknar den trigonometriska funktionen 1/cos och sech motsvarande hyperboliska funktion 1/cosh.

Eulertalen förekommer även som specifika värden för Eulerpolynomen.

Asymptotiskt växer talen som

E 2 n ∼ ( − 1 ) n 8 n π ( 4 n π e ) 2 n . {\displaystyle E_{2n}\sim (-1)^{n}8{\sqrt {\,{\frac {n}{\pi }}}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}

De kan även beräknas med integralen

∫ 0 ∞ ln n ⁡ ( x ) 1 + x 2 d x = | E n | ( π 2 ) n + 1 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln ^{n}(x)}{1+x^{2}}}\,dx=|E_{n}|\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{n+1}.}

Explicita formler

Ändlig summa

Eulertalen ges av formeln

E 2 n = i ∑ k = 1 2 n + 1 ∑ j = 0 k ( k j ) ( − 1 ) j ( k − 2 j ) 2 n + 1 2 k i k k {\displaystyle E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}{\frac {(-1)^{j}(k-2j)^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}}}

där i är den imaginära enheten.

Determinant

E2n kan även definieras som determinanten

E 2 n = ( − 1 ) n ( 2 n ) !   | 1 2 ! 1       1 4 ! 1 2 ! 1     ⋮   ⋱     ⋱       1 ( 2 n − 2 ) ! 1 ( 2 n − 4 ) !   1 2 ! 1 1 ( 2 n ) ! 1 ( 2 n − 2 ) ! ⋯ 1 4 ! 1 2 ! | . {\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}


Se även

  • Bernoullital