Eulers stegmetod

Eulers stegmetod är en metod inom numerisk analys för att lösa ordinära differentialekvationer med ett givet initialvärde.

Med Eulers stegmetod löses differentialekvationen $y'=f(t,y)$ genom att dela in den i diskreta stegintervall. Metoden utgår från Taylorserien

y(t+h)=y(t)+y'(t)h+{\frac {y''(t)}{2!}}h^{2}+...

där man försummar termer som innehåller derivator av högre ordning än ett. Man approximerar alltså funktionens lösningskurva med sin tangent i varje punkt och beräknar nästa punkt på kurvan genom att följa tangentens riktning.

Eftersom y' = f(t, y) fås

y(t+h)=y(t)+f(t,y(t))h\,

eller i diskret form

y_{k+1}=y_{k}+f(t_{k},y_{k})h_{k}\,

Tidsstegen ges av $t_{k}$ och $t_{k+1}=t_{k}+h_{k}$ och steglängen $h_{k}$ väljs på sådant sätt att största noggrannhet erhålls, vilket kan bli ett större problem än grundproblemet. Ofta väljs $h_{k}=h$ , där h är en konstant.

Eulers stegmetod är en s.k. enstegsmetod eftersom den bara baserar sig på information från steget före. Noggrannheten är exakt för homogena differentialekvationer av första ordningen. Stabiliteten varierar beroende på differentialekvation; i vissa fall växer felet exponentiellt, medan i andra fall avtar felet exponentiellt.

Felanalys

För (globala) trunkeringsfelet i Eulers stegmetod gäller

R_{T}=a_{0}h+a_{1}h^{2}+\ldots

Exempel

Låt y ′ = 3t — y, y ₀ = 2, steglängden h = 0,5.

Det vill säga vi startar i punkten (0, 2). I denna punkt beräknar vi lösningskurvans lutning:

y ′ (0) = 3*0 — 2 = -2

Med steglängden 0,5 blir nästa t-värde 0 + 0,5 och nästa y-värde = 2 + (-2)*0,5 = 1. Så håller vi på och stegar oss framåt tills vi når det t-värde vi är intresserade av.

Följande tabell visar de beräknade värdena som ger en numerisk uppskattning av y (2) :

t	y (t )	y ′(t )
0	2	–2
0,5	1	0,5
1	1,25	1,75
1,5	2,125	2,375
2	3,3125	2.6875

Alltså är y(2) = 3,3125 enligt Eulers stegmetod, med steglängden 0,5. Om ett mindre h hade använts, så hade man fått fram ett mycket noggrannare värde.

Detta svar kan jämföras med den exakta lösningen som är y(t ) = 5e^-t + 3t - 3 och som då ger att y(2) = 5e^-2 + 3 = 3,68. Att det blev så stor skillnad är inte att förvånas över, för att få ett någorlunda bra svar bör h vara som mest en tiondel av intervallet, d.v.s. ungefär 0,1 eller 0,2 i det här fallet.