Diffeomorfi

Inom differentialgeometri är en diffeomorfi en form av isomorfi mellan differentierbara mångfalder. En funktion ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ är en diffeomorfi om den är glatt, d.v.s. oändligt differentierbar, och det finns en funktion ${\displaystyle g:N\rightarrow M}$ som också är glatt så att ${\displaystyle f\circ g=id_{M}}$ och ${\displaystyle g\circ f=id_{N}}$.

Exempel

• För varje differentierbar mångfald M är identitetsfunktionen en diffeomorfi från M till M.
• Funktionen ${\displaystyle x\rightarrow x^{3}}$ på R har en invers ${\displaystyle x\rightarrow x^{\frac {1}{3}}}$, men är inte en diffeomorfi eftersom inversen inte är glatt.
• Funktionen ${\displaystyle x\rightarrow {\frac {1}{x}}}$ är en diffeomorfi mellan (0,1) och ${\displaystyle R^{+}}$

Diffeomorfier i ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

Givet öppna mängder ${\displaystyle U\subseteq R^{n}}$ och ${\displaystyle V\subseteq R^{m}}$ och en funktion ${\displaystyle f:U\rightarrow V}$ är ${\displaystyle f}$ en diffeomorfi omm:

1. ${\displaystyle f}$ är bijektiv,
2. Jacobimatrisen för ${\displaystyle f}$ är skild från noll i varje punkt.

Villkor 2 medför att det inte finns några diffeomorfier mellan U och V om n är skilt från m.

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör diffeomorfi.