Derivering av integraler

Derivering av integraler är en central operation i matematisk analys. Det är ofta relevant att fråga huruvida funktioner av typen

I ( t ) = ∫ E f ( x , t ) d x {\displaystyle I(t)=\int _{E}f(x,t)\,dx}

har någon derivata och i så fall vilken.

Derivering genom byte av integrationsordning

I ( t ) = ∫ E f ( x , t ) d x = ∫ E ( ∫ a t ∂ ∂ s f ( x , s ) d s + f ( x , a ) ) d x {\displaystyle I(t)=\int _{E}f(x,t)\,dx=\int _{E}\left(\int _{a}^{t}{\frac {\partial }{\partial s}}f(x,s)\,ds\,+f(x,a)\right)dx}

Under vissa förutsättningar (se byte av integrationsordning) kan dessa integraler beräknas i omvänd ordning och I ( t ) {\displaystyle I(t)\,} blir då lika med.

∫ a t ( ∫ E ∂ ∂ s f ( x , s ) d x ) d s + ∫ E f ( x , a ) d x {\displaystyle \int _{a}^{t}\left(\int _{E}{\frac {\partial }{\partial s}}f(x,s)\,dx\,\right)ds+\int _{E}f(x,a)\,dx} ,

varvid

I ′ ( t ) = ∫ E ∂ ∂ t f ( x , t ) d x {\displaystyle I'(t)=\int _{E}{\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)\,dx} .

Tillräckliga krav

Dessa krav är var för sig tillräckliga för att det skall vara tillåtet att flytta deriveringen innanför integralen:

  1. ∂ ∂ t f ( x , t ) ≥ 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)\geq 0} för alla x , t {\displaystyle x,t\,}
  2. ∫ E | ∂ ∂ t f ( x , t ) | d x < ∞ {\displaystyle \int _{E}\left|{\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)\right|dx<\infty }
  3. f {\displaystyle f\,} och ∂ f ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}} är begränsade och kontinuerliga i x {\displaystyle x\,} och t {\displaystyle t\,}

Exempel

Betrakta funktionen

I ( t ) = ∫ 0 ∞ e − x − e − t x x d x {\displaystyle I(t)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}-e^{-tx}}{x}}dx} .

Vi ser direkt att I ( 1 ) = 0 {\displaystyle I(1)=0\,} och att

∂ ∂ t ( e − x − e − t x x ) = e − t x {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {e^{-x}-e^{-tx}}{x}}\right)=e^{-tx}} .

Eftersom derivatan alltid är positiv kan vi byta integrationsordning:

I ( t ) = ∫ 0 ∞ ( ∫ 1 t e − s x d s ) d x = ∫ 1 t ( ∫ 0 ∞ e − s x d x ) d s = ∫ 1 t [ e − s x − s ] x = 0 x = ∞ d s = ∫ 1 t 1 s d s = log ⁡ t {\displaystyle I(t)=\int _{0}^{\infty }\left(\int _{1}^{t}e^{-sx}ds\right)dx=\int _{1}^{t}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-sx}dx\right)ds=\int _{1}^{t}\left[{\frac {e^{-sx}}{-s}}\right]_{x=0}^{x=\infty }ds=\int _{1}^{t}{\frac {1}{s}}ds=\log t} .

Genom att derivera var det alltså möjligt att beräkna I ( t ) {\displaystyle I(t)\,} explicit.

Referenser

  • G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons 1999 ISBN 0-471-31716-0

Se även

Den här artikeln ingår i boken: 
Måtteori