Gradijent

U vektorskoj analizi, gradijent skalarnog polja je vektorsko polje koje ima pravac najvećeg porasta skalarnog polja, odnosno, čiji je intenzitet najveća promena u polju.

Generalizacija gradijenta, za funckije u Banachovom prostoru koje imaju vektorske vrednosti, je Jakobijan.

Interpretacija gradijenta

Zamislimo sobu u kojoj je temperatura data sa skalarnim poljem ${\displaystyle \phi }$, tako da je u svakoj tački ${\displaystyle (x,y,z)}$ temperatura ${\displaystyle \phi (x,y,z)}$ (pretpostavićemo da se temperatura ne menja sa vremenom). Tada, u svakoj tački u sobi, gradijent u toj tački pokazaće smer u kojem temperatura raste najbrže. Intenzitet gradijenta će odrediti kako se brzo temperatura povećava u tom pravcu.

Gradijent se, takođe, može koristiti da se izmeri kako se skalarno polje menja u drugim smerovima (a ne samo u pravcu najveće promene) korišćenjem skalarnog proizvoda vektora. Zamislimo brdo sa najvećim nagibom od 40 %. Ako put ide ravno uzbrdo, tada je najstrmiji nagib, takođe, 40 %. Ako, međutim, put ide oko brda sa uglom u smeru uspona (vektor gradijenta), tada će imati manji nagib. Na primer, ako je ugao između puta u pravcu uspona, projektovan na horizontalnu ravan, 60°, tada će najstrmiji nagib, koji se proteže duž puta, biti 20 %, što se dobilo iz proizvoda 40 % puta kosinus od 60°.

Formalna definicija

Gradijent (ili gradijent vektorskog polja) skalarne funkcije ${\displaystyle f(x)}$ po vektorskoj varijabli ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ se označava kao ${\displaystyle \nabla f}$ ili ${\displaystyle {\vec {\nabla }}f}$ gde ${\displaystyle \nabla }$ (nabla simbol) označava vektorski diferencijalni operator, nabla operator. Oznaka ${\displaystyle \operatorname {grad} (f)}$ se, takođe, koristi za označavanje gradijenta.

Prema definiciji, gradijent je vektorsko polje čije su komponente parcijalni izvodi funkcije ${\displaystyle f}$. To jest:

${\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).}$

Skalarni proizvod vekora ${\displaystyle (\nabla f)_{x}\cdot v}$ gradijenta u tački x sa vektorom v daje izvod po pravcu funkcije f u x u pravcu v.

Gradijent je nerotaciono vektorsko polje, te su linijski intergrali kroz gradijentno polje nezavisni i mogu se izračunati pomoću gradijentne teoreme. Suprotno, nerotaciono vektorsko polje u jednostvno povezanom regionu je uvek gradijent funkcije.

Izrazi za gradijent u 3 dimenzije

Forma gradijenta zavisi od izabranog koordinatnog sistema.

U pravouglim koordinatama, gornji izraz se proširi na

${\displaystyle \nabla f(x,y,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}}$

U cilindričnim koordinatama:

${\displaystyle \nabla f(\rho ,\theta ,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial \rho }},{{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}}$

(gde je ${\displaystyle \theta }$ azimutalni ugao, a ${\displaystyle z}$ je osna koordinata).

U sfernim koordinatama:

${\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\phi )={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial r}},{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}}\end{pmatrix}}}$

(gde je ${\displaystyle \theta }$ azimutni ugao, a ${\displaystyle \phi }$ je zenitni ugao).

Svojstva

${\displaystyle \ \nabla (\alpha \phi +\psi )=\alpha \nabla \phi +\nabla \psi }$

${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\ }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\nabla A^{2}=\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} }$

Primer

Na primer, gradijent u pravouglim koordinatama

${\displaystyle f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)}$

je:

${\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}.}$

Gradijent i izvod ili diferencijal

Linearna aproksimacija funkcije

Gradijent funkcije ${\displaystyle f}$ iz Euklidovog prostora ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ u ${\displaystyle \mathbb {R} }$ i bilo kojoj tački x₀ u ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ karakteriše najbolju linearnu aproksimaciju od f u x₀. Ta aproksimacija se zapisuje na sledeći način:

${\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})}$

za ${\displaystyle x}$ koje je blizu ${\displaystyle x_{0}}$, gdje je ${\displaystyle (\nabla f)_{x_{0}}}$ gradijent funkcije f izračunat u ${\displaystyle x_{0}}$, gde tačka označava da se radi o skalarnom proizvodu ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Vidi još

Reference

Literatura

1. Korn, Theresa M.; Korn, Granino Arthur (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications. стр. 157–160. ISBN 0-486-41147-8.