142857

142857
142854 · 142855 · 142856 · 142857 · 142858 · 142859 · 142860
Кардинални број	сто четрдесет и две хиљаде осамсто педесет и седам
Редни број	сто четдесет две хиљаде осамсто педесет седми
Делиоци	1, 3, 9, 11,13,27,33,37,39,99,...
Факторизација	3³ x 11 x 13 x 37
Римски	CXLMMDCCCLVII
Бинарно	100010111000001001
Октално	427011
Хексадецимално	22E09
φ(142857)	34560
σ(142857)	253917
π(142857)	13252
μ(142857)	0

142.857 су шест понављајућих децималних цифара броја 1/7, 0,142857, које такође чине и најпознатији циклични број у бројевној основи 10.^[1]^[2]^[3]^[4] Овај број, помножен бројевима 2, 3, 4, 5, или 6, даје цикличну пермутацију самог себе.

Рачун

1 × 142.857 = 142.857

2 × 142.857 = 285.714

3 × 142.857 = 428.571

4 × 142.857 = 571.428

5 × 142.857 = 714.285

6 × 142.857 = 857.142

7 × 142.857 = 999.999

Ако је помножен целим бројем већим од 7, постоји једноставан поступак да се опет добије циклична пермутација броја 142857. Додавањем првих шест цифара преосталим цифрама и понављањем поступка док не остане само шест цифара, добија се циклична пермутација броја 142857

142857 × 8 = 1142856

1 + 142856 = 142857

142857 × 815 = 116428455

116 + 428455 = 428571

Множење умношком броја 7 ће резултовати бројем 999999 након истог процеса

142857 × 7⁴ = 342999657

342 + 999657 = 999999

Квадрат прве три цифре одузет од квадрата последње три цифре такође даје цикличну пермутацију овог броја.

857² = 734449

142² = 20164

734449 - 20164 = 714285

Цифре 142857 су понављајућа ниска у децималном развоју рационалног броја 1/7 = 0 , 142857 142857 14... Стога се умношци броја 1/7 једноставно добијају поновљеним копијама одговарајућих умножака броја 142857:

1 ÷ 7 = 0 , 142857 142857 142857 14...

2 ÷ 7 = 0 , 285714 285714 285714 28...

3 ÷ 7 = 0 , 428571 428571 428571 42...

4 ÷ 7 = 0 , 571428 571428 571428 57...

5 ÷ 7 = 0 , 714285 714285 714285 71...

6 ÷ 7 = 0 , 857142 857142 857142 85...

7 ÷ 7 = 0 , 999999 999999 999999 99...

8 ÷ 7 = 1 , 142857 142857 142857 14...

9 ÷ 7 = 1 , 285714 285714 285714 28...

22 ÷ 7 = 3 , 142857 142857..., је стара апроксимација броја Пи.

{\frac {1}{7}}=\sum _{n=0}^{\infty }3^{n}*10^{-(n+1)}

Једноставно комбиновање цифара на различите начине и дељење бројем 7 или умношком броја 7 даје

142 + 857 = 999

999 ÷ 7 = 142,7 142857 142857 142857 14...

14 + 28 + 57 = 99

99 ÷ 7 = 14, 142857 142857 142857...

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27

27 ÷ 7 = 3.857 142857 142857 142857...

857 - 142 = 715

715 ÷ 7 = 102, 142857 142857 142857...

1 × 4 × 2 × 8 × 5 × 7 = 2240

2240 ÷ 49 = 45,7 142857 142857 142857...

1 + 42 + 857 = 900

900 ÷ 7 = 128,57 142857 142857 142857...

1 × 4 ÷ 2 × 8 ÷ 5 × 7 = 22,4

22,4 ÷ 49 = 0,457 142857 142857 142857...

У основи 10, 142.857 је Харшадов број и Капрекаров број.

${\frac {22}{7}}$ као $\pi \,\!$

Ова античка апроксимација броја $\pi \,\!$ се доводи у везу са јеврејским мистицизмом. У одређеним кабалистичким круговима, као што су медиогегнијанци је познато да двадесет и два слова хебрејског писма представљају комплетан обим који кад се подели бројем седам (свети број циклуса) даје кабалистички $\pi \,\!$ , такође познат у овим круговима као савршени $\pi \,\!$ .

{\frac {22}{7}}=3.142857142857142857...

\pi =3,141592653589793238...\,\!

Разлика између ова два броја је

{\frac {22}{7}}-\pi =\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx

Референце

^ Циклични број Архивирано на сајту Wayback Machine (29. септембар 2007), Интернет енциклопедија науке
^ Michael W. Ecker, "The Alluring Lore of Cyclic Numbers", The Two-Year College Mathematics Journal, Vol.14, No.2 (March 1983), pp. 105-109
^ Циклични број Архивирано на сајту Wayback Machine (14. јул 2007), PlanetMath
^ Kathryn Hogan, "Go figure (cyclic numbers)", Australian Doctor, August 2005

Литература

Leslie, John (1820). The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of .... Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown. ISBN 978-1-4020-1546-5.
Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Revised Edition. London: Penguin Group. (1997): 171 - 175