Jedinična matrica je u linearnoj algebri naziv za kvadratnu matricu kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jedinice, a ostali nule. Ova se matrica još naziva matricom identiteta, jer množenjem s drugim matricama daje upravo njih kao rezultat množenja tj. ne mijenja ih. Ova se matrica označuje velikim slovom E a indeks koji može i ne mora stajati pored oznake označuje dimenziju iste. Oznaka za matricu identičnog preslikavanja je Id ili samo I.
![{\displaystyle E_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ E_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ E_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1a03eebfee7b0ff51bf8e4864abc1b0d5cab1c)
Što se također može definirati i Kroeneckerovom deltom:
,
gdje je:
![{\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&,i=j\\0&,i\neq j\end{matrix}}\right.\quad {\mbox{sa }}i,j\in \{1,\ldots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470fa1e9f26581ff54522d0d2b0fa72e9d0e9fa0)
Alternativni zapisi su:
![{\displaystyle E_{ij}=\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/846c1ce47173dbbb69ee8dde78d2c20d34c81b8f)
![{\displaystyle E=(\delta _{ij})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa7d2758c9a90c9e566ec14557d63211b588f54)
Osobine
Množenje
Jedna od bitnih osobina jedinične matrice En nekog prostora Kn × n jest ta da je ona jedina za koju vrijedi:
![{\displaystyle EA=AE=A,\;A\in K^{n\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a58526a59eeb76cddf0aa2555fd2d755aac90f9)
Štoviše, vidi se da je matrica nad prostorom Kn × n komutativna, tj. nije bitno množi li se njome slijeva ili zdesna. Ovo ne vrijedi za prostore Kn × m, m ≠ n, gdje se ovom matricom može množiti samo slijeva odnosno samo zdesna.
Iz ove osobine također slijedi i:
![{\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597164354f85c384a157fb220ba8c348de0a69f3)
Primjer:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&-2\\1&1&3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&3&-2\\1&1&3\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8941e210cd5f2265fd371d71f43f6e6d9effb8)
Determinanta i inverz
Determinanta ove matrice je uvijek 1, dok je ona sama sebi inverz.
![{\displaystyle |E|=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24ce891049bc11ea784fa88b1574171ec3271575)
![{\displaystyle E=E^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/294949fe0101a01972caad47627a402d6706e0a6)
Druga se osobina može dokazati na sljedeći način:
, opće pravilo koje vrijedi za sve matrice
, množenje slijeva sa E-1
, matrica pomnožena svojim inverzom uvijek daje E
, matrica pomnožena jediničnom daje samu sebe
, kraj dokaza