Număr de tort

Număr de tort

Animație care arată planele de tăiere necesare pentru a tăia o prăjitură în 15 bucăți prin 4 tăieturi (reprezentând al 5-lea număr de tort). Paisprezece dintre bucăți au fețe pe frontiera cubului, iar un tetraedru este în mijloc.
Nr. total de termeniinfinit
Subșir alnumăr poligonal
Formula 1 6 ( n 3 + 5 n + 6 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\left(n^{3}+5n+6\right)}
Primii termeni1, 2, 4, 8, 15, 26, 42[1]
Index OEIS
  • A000125
  • cake numbers

În matematică un număr de tort, notat Cn, este un număr figurativ care indică numărul maxim de regiuni în care poate fi divizat un cub (tridimensional) printr-un număr dat, n, de plane. Numerele de tort sunt numite astfel pentru că se poate imagina fiecare tăietură plană prin cub ca o feliere făcută cu un cuțit printr-un tort în formă de cub. Șirul numerelor de tort este analogul tridimensional al șirului tăietorului leneș.

Valorile Cn pentru n ≥ 0 crescător sunt:[1]

1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, ...

Formula generală

Dacă n! este factorialul, și coeficienții binomiali sunt notați ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! , {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}},} și se presupune că sunt n plane care divid cubul, atunci al n-lea număr de tort este:[2]

C n = ( n 3 ) + ( n 2 ) + ( n 1 ) + ( n 0 ) = = 1 6 ( n 3 + 5 n + 6 ) = = 1 6 ( n + 1 ) ( n ( n − 1 ) + 6 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}C_{n}&={n \choose 3}+{n \choose 2}+{n \choose 1}+{n \choose 0}=\\&={\tfrac {1}{6}}\left(n^{3}+5n+6\right)=\\&={\tfrac {1}{6}}\left(n+1)(n(n-1)+6\right).\end{aligned}}}

Proprietăți

Singurul număr de tort care este prim este 2, deoarece este nevoie ca ( n + 1 ) ( n ( n − 1 ) + 6 ) {\displaystyle \left(n+1)(n(n-1)+6\right)} să aibă factorizarea 2 ⋅ 3 ⋅ p {\displaystyle 2\cdot 3\cdot p} unde p {\displaystyle p} este prim. Asta este imposibil pentru n > 2 {\displaystyle n>2} știind că ( n ( n − 1 ) + 6 ) {\displaystyle \left(n(n-1)+6\right)} trebuie să fie par, prin urmare trebuie să fie egal cu 2 {\displaystyle 2} , 2 ⋅ 3 {\displaystyle 2\cdot 3} , 2 ⋅ p {\displaystyle 2\cdot p} , sau 2 ⋅ 3 ⋅ p {\displaystyle 2\cdot 3\cdot p} , care corespund cazurilor: ( n ( n − 1 ) + 6 ) = 2 {\displaystyle \left(n(n-1)+6\right)=2} (care are doar rădăcini complexe), ( n ( n − 1 ) + 6 ) = 6 {\displaystyle \left(n(n-1)+6\right)=6} (de exemplu n ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle n\in \{0,1\}} ), ( n + 1 ) = 3 {\displaystyle (n+1)=3} și ( n + 1 ) = 1 {\displaystyle (n+1)=1} .

Numerele de tort sunt analoagele tridimensionale ale celor din șirului tăietorului leneș din bidimensional. Diferențele dintre numerele de tort succesive formează șirul tăietorului leneș.[2]

În triunghiul lui Bernoulli șirul numerelor de tort este cel colorat albastru

Cea de a patra coloană din triunghiul lui Bernoulli (k = 3) dă numerele de tort pentru n tăieturi, unde n ≥ 3.

Alternativ, șirul poate fi derivat din suma până la primii 4 termeni ai fiecărui rând din triunghiul lui Pascal: [1]

k
n
 0 1 2 3 Suma
1 1 – – – 1
2 1 1 – – 2
3 1 2 1 – 4
4 1 3 3 1 8
5 1 4 6 4 15
6 1 5 10 10 26
7 1 6 15 20 42
8 1 7 21 35 64
9 1 8 28 56 93
10 1 9 36 84 130

Note

  1. ^ a b c Șirul A000125 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  2. ^ a b en Yaglom, Akiva; Yaglom, Isaak (). Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions. 1. New York: Dover Publications. 

Legături externe

Portal icon Portal Matematică
  • en Eric Weisstein, Space Division by Planes la MathWorld.
  • en Eric Weisstein, Cake Number la MathWorld.