Nilpotență

Problema 1 Fie matricea A ${\displaystyle \in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )}$ . Să se arate că ${\displaystyle A}$ este nilpotență dacă și numai dacă ${\displaystyle {\rm {tr}}\,(A^{k})=0}$ , oricare ar fi ${\displaystyle k>0}$ natural. Sunt cunoscute relațiile:

${\displaystyle {\rm {tr}}\ (A^{k})=\lambda _{1}^{k}+\lambda _{2}^{k}+...+\lambda _{n}^{k},\ \forall k\in \mathbb {N} ^{*},\ \ (\star )}$

unde ${\displaystyle \lambda _{i},\ i=1,...,n}$, sunt valorile proprii ale matricii ${\displaystyle A}$.

Presupunem acum că ${\displaystyle A}$ este nilpotență, adică există ${\displaystyle p\in \mathbb {N} ^{*}}$ astfel încât ${\displaystyle A^{p}=0}$. Fie ${\displaystyle \lambda }$ o valoare proprie asociată matricii ${\displaystyle A}$ și ${\displaystyle X\in {\mathcal {M}}_{n,1}(\mathbb {R} )}$ un vector propriu nenul corespunzător valorii proprii ${\displaystyle \lambda }$. Atunci avem ${\displaystyle AX=\lambda X}$ (1).

Presupunem ${\displaystyle \lambda \neq 0}$. Deoarece ${\displaystyle A^{p}X=0\cdot X=0}$, mulțimea ${\displaystyle W=\{q\in \mathbb {N} *:A^{q}X=0\}}$ este nevidă și din proprietatea de bună ordonare a lui ${\displaystyle \mathbb {N} }$ rezultă faptul că ${\displaystyle W}$ are un cel mai mic element, ${\displaystyle w}$. Dacă acesta este diferit de 1, atunci prin înmulțirea relației (1) cu ${\displaystyle A^{w-1}}$ obținem ${\displaystyle A^{w}X=\lambda A^{w-1}X}$, de unde datorită faptului că ${\displaystyle A^{w}=0}$ și ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ rezultă că ${\displaystyle A^{w-1}X=0}$, ceea ce este o contradicție cu minimalitatea lui ${\displaystyle w}$. Prin urmare ${\displaystyle w=1}$ și ${\displaystyle AX=0}$. Folosind relația (1) avem și ${\displaystyle \lambda X=0}$, ceea ce este o contradicție cu faptul că ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ și ${\displaystyle X\neq 0}$. Deci presupunerea făcută este falsă și ${\displaystyle \lambda =0}$.

Deoarece ${\displaystyle \lambda }$ a fost o valoare proprie aleasă arbitrar, orice valoare proprie a lui ${\displaystyle A}$ este 0. Din relațiile (\star)</math> rezultă că ${\displaystyle {\rm {tr}}\ (A^{k})=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{k}=0,\ \forall k\in \mathbb {N} ^{*}.}$

Reciproc, presupunem că ${\displaystyle {\rm {tr}}(A^{k})=0,\ \forall k\in \mathbb {N} ^{*}}$. Folosim identitățile lui Newton: ${\displaystyle (-1)^{m}\sum \limits _{1\leq i_{1}<...<i_{m}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{m}}+\sum \limits _{k=1}^{m}\left((-1)^{k+m}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\right)\sum \limits _{1\leq i_{1}<...<i_{m-k}\leq n}x_{i_{1}}...x_{i_{m-k}}\right)=0,}$ pentru orice ${\displaystyle m\leq n}$ și oricare ${\displaystyle n}$ numere complexe ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$. În particular, dacă ${\displaystyle x_{i}=\lambda _{i},\ \forall i=1..n}$, atunci, din relațiile ${\displaystyle (\star )}$ și presupunerea făcută rezultă că ${\displaystyle \displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=0,\ \forall k\in \mathbb {N} ^{*}}$. Dacă înlocuim ${\displaystyle x_{i}}$ în formulele lui Newton pentru ${\displaystyle m=1,2,...,n}$ obținem: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=0,\ \sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}=0,...,\ x_{1}x_{2}...x_{n}=0,}$ adică coeficienții polinomului ${\displaystyle p_{A}(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n})}$, polinomul caracteristic al lui ${\displaystyle A}$, sunt 0, în afară de coeficientul dominant. Prin urmare ${\displaystyle p_{A}(x)=x^{n}}$. Teorema Cayley-Hamilton spune că ${\displaystyle p_{A}(A)=0}$, adică ${\displaystyle A^{n}=0}$. Prin urmare ${\displaystyle A}$ este o matrice nilpotență.

Legături externe

http://planetmath.org/NilpotentMatrix.html Arhivat în 8 ianuarie 2013, la Wayback Machine.