Mulțime conexă

O mulțime este conexă într-un spațiu topologic dacă nu este reuniunea a două mulțimi nevide deschise și disjuncte. Folosind limbajul obișnuit, o mulțime conexă poate fi descrisă ca fiind o mulțime formată dintr-o singură bucată. De exemplu, intervalele de numere reale sunt mulțimi conexe.

Definiții și caracterizări

Fie (S,d) un spațiu metric.
Se spune despre o mulțime ${\displaystyle A\subset \ }$ S că este conexă dacă în S nu există două mulțimi deschise D₁ și D₂ astfel încât

${\displaystyle D_{1}\cap A\neq \emptyset ,D_{2}\cap A\neq \emptyset ,D_{1}\cap D_{2}=\emptyset ,D_{1}\cup D_{2}\supseteq A}$

• O mulțime care nu este conexă se numește neconexă. O mulțime deschisă și conexă se numește domeniu.
  

Dacă o mulțime este conexă într-un spațiu topologic atunci spațiul respectiv este un spațiu topologic conex.

• O multime ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ este conexă dacă și numai dacă este interval.
  
• O mulțime nevidă ${\displaystyle A\subseteq S}$ a unui spațiu metric este conexă dacă și numai dacă orice funcție continuă de forma ${\displaystyle f:A\to \{0,1\}}$ este constantă.
  

Altfel spus, o mulțime ${\displaystyle A}$ este conexă dacă și numai dacă ${\displaystyle A}$ nu se poate reprezenta ca reuniunea a două mulțimi deschise relativ la ${\displaystyle A}$, disjuncte și nevide. Din acest motiv, mulțimile conexe se mai numesc și mulțimi dintr-o singură bucată.

• Aderența oricărei mulțimi conexe este o mulțime conexă.
• Fie Á o familie de mulțimi conexe în (S,d) a cărei intersecție este nevidă. Atunci reuniunea sa este de asemenea o mulțime conexă în (S,d).
• Dacă ${\displaystyle x\in S}$, atunci clasa de echivalență care îl conține pe x se numește componenta conexă a punctului x și se notează cu C_x.
  

Evident, dacă (S,d) este un spațiu topologic conex atunci C_x=S pentru orice ${\displaystyle x\in S}$.

• Fie T o mulțime deschisă în spațiul topologic (S,d). Atunci T este neconvexă dacă și numai dacă există două mulțimi nevide, deschise și disjuncte T₁ și T₂ cu ${\displaystyle T=T_{1}\cup T_{2}}$.
• Fie F o mulțime închisă în spațiul topologic (S,d). Atunci F este neconvexă dacă și numai dacă există două mulțimi nevide, disjuncte și închise F₁ și F₂ cu ${\displaystyle F=F_{1}\cup F_{2}}$.

Exemple

• Mulțimea vidă și mulțimile formate dintr-un singur element (singletoanele) sunt conexe în orice spațiu topologic.
• Mulțimea A={0,1} din ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nu este conexă deoarece există, de exemplu, mulțimile deschise ${\displaystyle D_{1}=(-\infty ,{\frac {1}{2}})}$ și ${\displaystyle D_{2}=({\frac {1}{3}},\infty )}$ astfel încât
  

${\displaystyle D_{1}\cap A\neq \emptyset ,D_{2}\cap A\neq \emptyset ,D_{1}\cap D_{2}=\emptyset ,D_{1}\cup D_{2}\supseteq A}$.

• Dacă d_b este topologia banală pe S atunci (S,d_b) este un spațiu topologic conex.
  
• Dacă pe ${\displaystyle \mathbb {R} }$ se consideră topologia discretă t₀, atunci (${\displaystyle \mathbb {R} }$, t₀) nu este un spațiu topologic conex.
• Mulțimea (hiperbola)
  

${\displaystyle H=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}-y^{2}=1\}}$ nu este conexă în (${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, d) căci mulțimile deschise ${\displaystyle D_{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x>0\}}$ și ${\displaystyle D_{2}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x<0\}}$ au proprietățile
${\displaystyle (1,0)\in D_{1}\cap H,(-1,0)\in D_{2}\cap H,D_{1}\cap D_{2}=\emptyset ,D_{1}\cup D_{2}\supseteq H}$.

Bibliografie

• Mihail Megan, Analiză matematică, volumul I, Editura Mirton, Timișoara,1999,pag.152-160
• Nicolae Cotfas, Liviu Adrian Cotfas, Elemente de analiză matematică, Editura Universității din București, București, 2010, pp. 82-87.

Legături externe

• http://fpcm5.fizica.unibuc.ro/~ncotfas/Elemente-de-Analiza-Matematica.pdf Arhivat în 14 mai 2014, la Wayback Machine.

Vezi și

• Conexitate
• Spațiu topologic