Funcție armonică

Funcție armonică este un termen folosit în matematică (mai ales în teoria probabilităților), fizică și se referă la acele funcții dublu derivabile ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} }$, unde ${\displaystyle U}$ este un interval deschis al lui ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, care satisfac ecuația lui Laplace:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x^{2}}_{1}}}\;+\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{2}}^{2}}}\;+\;\cdots \;+\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {x_{n}}^{2}}}\;=\;0}$ pe întreg intervalul U. Într-o notație mai compactă se mai poate scrie:

${\displaystyle \nabla ^{2}f\;=\;0}$ sau ${\displaystyle \Delta f\;=\;0}$ .

Exemple

Exemple de funcții armonice cu două variabile:

• partea reală și partea imaginară a oricărei funcții olomorfe
• funcția

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})\;=\;ln({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2})}$

definită pe ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\backslash \{0\}}$, de exemplu potențialul electric produs de un fir încărcat sau potențialul gravitațional datorat unei mase cilindrice.

Proprietăți

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
• Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957

Vezi și

• serie Fourier
• ecuația lui Poisson

Legături externe

Portal matematică

• en Funcții armonice la MathWorld.
• en Teoria funcțiilor armonice la Axler.Net.