Divizor

Un număr x este numit divizor al altui număr y, dacă y se poate scrie ca produsul dintre x și un alt număr întreg t.

  • Dacă a este un număr întreg vom numi numărul b divizor al lui a dacă există numărul c întreg astfel ca a = b · c și se scrie b | a, de asemenea c | a.
  • Exemplu: 2 este divizor pentru 6 pentru că 6 = 2 · 3. Se scrie 2 | 6.
  • 1 | n, n | n și n | 0 pentru orice număr întreg;
  • un număr prim are doi divizori naturali.

Mulțimea divizorilor

  • Mulțimea divizorilor lui a este formată din toți divizorii lui a.
    • Notație Da.
    • Exemplu : D6 = { -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 }, D5 = {-5, -1, 1, 5} ; 5 este număr prim pentru că are doi divizori naturali.
  • Numărul divizorilor:
    • Dacă n = p 1 k 1 ⋯ p r k r {\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}} este descompunerea în factori primi distincți ai lui n ,iar p j , j = 1 , r ¯ {\displaystyle p_{j},j={\overline {1,r}}} sunt numere prime distincte numărul divizorilor naturali se poate calcula cu formula : τ ( n ) = ( k 1 + 1 ) ⋅ ( k 2 + 1 ) ⋯ ( k r + 1 ) {\displaystyle \tau (n)=(k_{1}+1)\cdot (k_{2}+1)\cdots (k_{r}+1)} .
  • Suma divizorilor:
    • Dacă n = p 1 k 1 ⋯ p r k r {\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}} este descompunerea în factori primi distincți ai lui n, iar p j , j = 1 , r ¯ {\displaystyle p_{j},j={\overline {1,r}}} sunt numere prime distincte suma divizorilor naturali se poate calcula cu formula: σ ( n ) = ∑ d | n d = ∏ i = 1 r p i ( k i + 1 ) − 1 p i − 1 {\displaystyle {\sigma (n)=\sum _{d|n}d\,\!}=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(k_{i}+1)}-1}{p_{i}-1}}} .
      • Exemplu: pentru n = 20 = 22 · 5 avem   τ ( 20 ) = 6 {\displaystyle \ \tau (20)=6} și   σ ( 20 ) = 42 {\displaystyle \ \sigma (20)=42}

Funcțiile de mai sus și indicatorul lui Euler sunt așa numite funcții aritmetice.

  • CMMDC: cel mai mare divizor comun a două numere naturale a , b este un număr d ce verifică:
    • i) d | a , d | b (adică este divizor comun).
    • ii) Dacă c | a și c | b atunci c | d (adică d este cel mai mare divizor comun ).
      • Notație: d = (a,b).
      • Exemplu: (12, 18 ) = 6.
      • Dacă (a , b) = 1 se spune că a și b sunt prime între ele; (32, 15) = 1, deci 32 și 15 sunt prime între ele, sau altfel spus au ca factor comun doar pe 1.
      • Dacă un număr are doar un divizor atunci spunem despre el ca este număr prim.

Legături externe

  • en Funcția divizor la Mathworld.