Convergență punctuală

În analiza matematică, noțiunea de convergență punctuală sau convergență simplă indică modul cum un șir de funcții converge către o anumită funcție. Un caz particular al acesteia îl constituie convergența uniformă.

Definiție

Fie ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ un șir de funcții, ${\displaystyle f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} .}$ Se spune că șirul ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ este punctual convergent pe ${\displaystyle [a,b]}$ către f pentru ${\displaystyle n\to \infty }$ și se scrie ${\displaystyle f_{n}{\overset {PC}{\longrightarrow }}f}$ dacă ${\displaystyle f_{n}(x_{0})\to f(x_{0})}$ (în ${\displaystyle \mathbb {R} }$) pentru ${\displaystyle \forall x_{0}\in [a,b].}$

Cazul seriilor de funcții

Se consideră seria de funcții ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x).}$ Mulțimea valorilor ${\displaystyle x}$ pentru care seria este convergentă se numește mulțimea de convergență a seriei, iar funcția ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ astfel încât ${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }S_{n}(x),\;\;S_{n}(x)=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(x)}$ se numește suma seriei.

Definiție. Seria ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ este simplu (punctual) convergentă către funcția ${\displaystyle f}$ dacă șirul sumelor parțiale ${\displaystyle (S_{n}(x))_{n}}$ este simplu (punctual) convergent către ${\displaystyle f.}$ Seria ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ este absolut convergentă dacă seria ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|f_{n}|}$ este simplu convergentă.

Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui.