Redutível à homogênea

Algumas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem não se enquadram em nenhum dos métodos clássicos de solução. No entanto, as vezes é possível reescrever essas equações de modo a viabilizar o uso de um método clássico de solução. Este é o caso das equações redutíveis à homogênea. Essa classe de equações tem o lado direito dado por uma função que depende de uma expressão do tipo ${\displaystyle {\frac {a_{1}t+b_{1}y+c_{1}}{a_{2}t+b_{2}y+c_{2}}},\ \ a_{i},\ b_{i},\ c_{i}\in \mathbb {R} ,\ i=1,\ 2}$. Independente das constantes ${\displaystyle a_{i},\ b_{i},\ c_{i}\in \mathbb {R} ,\ i=1,\ 2,}$ existem substituições que permitem reescrever a equação como uma equação homogênea de primeira ordem. Por esse motivo, essa classe é chamada de redutíveis à homogênea

Definição

Considere a equação diferencial ordinária de primeira ordem

${\displaystyle y'=f(t,y).}$

Se ${\displaystyle f(t,y)}$ é da forma ${\displaystyle f(t,y)=\phi \left({\frac {a_{1}t+b_{1}y+c_{1}}{a_{2}t+b_{2}y+c_{2}}}\right)}$, em que ${\displaystyle a_{i},\ b_{i},\ c_{i}\in \mathbb {R} ,\ i=1,\ 2}$, dizemos que a equação é redutível à homogênea^[1].

Exemplos

1. ${\displaystyle y'={\frac {t+y-2}{t-1}}.}$
2. ${\displaystyle y'={\frac {2t-6y-1}{t-3y-4}}.}$

Resolvendo uma equação redutível a homogênea

Há dois casos a considerar:

• Se ${\displaystyle a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}\neq 0.}$

Observe que neste caso o sistema linear ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}a_{1}t+b_{1}y+c_{1}=0\\a_{2}t+b_{2}y+c_{2}=0\end{array}}\right.}$ tem única solução ${\displaystyle t_{0},\ y_{0}.}$

Neste caso definimos ${\displaystyle u=t-t_{0}}$ e ${\displaystyle v=y-y_{0}}$. Logo, ${\displaystyle du=dt}$ e ${\displaystyle dv=dy}$.

Com base nisso,

${\displaystyle a_{1}t+b_{1}y+c_{1}=a_{1}(u+t_{0})+b_{1}(v+y_{0})+c_{1}=a_{1}u+b_{1}v+a_{1}t_{0}+b_{1}y_{0}+c_{1}=a_{1}u+b_{1}v}$

e

${\displaystyle a_{2}t+b_{2}y+c_{2}=a_{2}(u+t_{0})+b_{2}(v+y_{0})+c_{2}=a_{2}u+b_{2}v+a_{2}t_{0}+b_{2}y_{0}+c_{2}=a_{2}u+b_{2}v,}$

pois ${\displaystyle t_{0},\ y_{0}}$ é solução do sistema linear.

Dessa forma, a equação diferencial fica

${\displaystyle y'=\phi \left({\frac {a_{1}u+b_{1}v}{a_{2}u+b_{2}v}}\right)=\phi \left({\frac {a_{1}+b_{1}{\frac {v}{u}}}{a_{2}+b_{2}{\frac {v}{u}}}}\right)=\psi \left({\frac {v}{u}}\right)}$

que é uma equação homogênea^{[2] [1]} em relação as variáveis ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$.

A solução da equação é obtida usando o método para equações homogêneas de primeira ordem.

• Se ${\displaystyle a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}=0.}$

Segue que ${\displaystyle {\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}=\kappa }$. Portanto, ${\displaystyle a_{1}=a_{2}\kappa }$ e ${\displaystyle b_{1}=b_{2}\kappa }$.

Com isso, a equação diferencial inicial fica

${\displaystyle y'=\phi \left({\frac {\kappa (a_{2}t+b_{2}y)+c_{1}}{a_{2}t+b_{2}y+c_{2}}}\right).}$

Façamos agora a mudança de variável ${\displaystyle z=a_{2}t+b_{2}y}$. Daí, ${\displaystyle dz=a_{2}dt+b_{2}dy}$ ou ${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=a_{2}+b_{2}{\frac {dy}{dt}}.}$ De onde segue que

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=\left({\frac {dz}{dt}}-a_{2}\right){\frac {1}{b_{2}}}.}$

Substituíndo na equação inicial

${\displaystyle {\frac {z'-a_{2}}{b_{2}}}=\phi \left({\frac {\kappa z+c_{1}}{z+c_{2}}}\right).}$

ou

${\displaystyle z'=b_{2}\phi \left({\frac {\kappa z+c_{1}}{z+c_{2}}}\right)+a_{2}.}$

Que é uma equação de variável separavel. Logo, obtemos a solução usando o método de separação de variáveis

Referências