Número poligonal centrado

Os números poligonais centrados são uma classe de séries de números figurados, em que cada figura é formada por um ponto central circundado por camadas poligonais com um número constante de lados. Cada lado de uma camada poligonal contém um ponto a mais do que a camada anterior, de modo que, começando na segunda camada, cada camada de um número poligonal centrado k-gonal contém k pontos a mais do que a camada anterior.

Exemplos de séries de números poligonais centrados:

  • número triangular centrado: 1,4,10,19,31,... (OEIS A005448)
  • número quadrado centrado 1,5,13,25,41,... (OEIS A001844)
  • número pentagonal centrado 1,6,16,31,51,... (OEIS A005891)
  • número hexagonal centrado 1,7,19,37,61,... (OEIS A003215)
  • número heptagonal centrado 1,8,22,43,71,... (OEIS A069099)
  • número octagonal centrado 1,9,25,49,81,... (OEIS A016754)
  • número nonagonal centrado 1,10,28,55,91,... (OEIS A060544), que inclui todos os números perfeitos pares, com exceção do 6.
  • número decagonal centrado 1,11,31,61,101,... (OEIS A062786)

Os diagramas a seguir mostram uns poucos exemplos de números poligonais centrados e sua construção geométrica (Compare estes diagramas com os diagramas em número poligonal).

Números quadrados centrados
1     5     13     25
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Números hexagonais centrados
1     7     19     37
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Como se pode ver nos diagramas acima, o n-ésimo número k-gonal centrado pode ser obtido pela colocação de k números triangulares ao redor do ponto central; portanto, o n-ésimo número k-gonal centrado pode ser expresso matematicamente por,

C k , n = k n 2 ( n − 1 ) + 1. {\displaystyle C_{k,n}={\frac {kn}{2}}(n-1)+1.}

ou

C k , n = {\displaystyle C_{k,n}=} k n 2 − k n + 2 2 {\displaystyle {kn^{2}-kn+2} \over 2}

Assim como com os números poligonais, o primeiro número poligonal centrado é 1, logo 1 é tanto poligonal como poligonal centrado. O próximo número que é k-gonal e k-gonal centrado pode ser encontrado pela fórmula:

k 2 2 ( k − 1 ) + 1 {\displaystyle {\frac {k^{2}}{2}}(k-1)+1}

fazendo k=3 (triangular ou 3-gonal) obtemos 10, o que nos mostra que 10 é tanto triangular como triangular centrado, fazendo k=4 (quadrado ou 4-gonal) obtemos 25 o que nos mostra que 25 é tanto quadrado como quadrado centrado, etc.

Ver também

Referências

  • Neil Sloane & Simon Plouffe, The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press (1995): Fig. M3826
  • «MathWorld:Números poligonais centrados» (em inglês) 
  • Portal da matemática