Número feliz

Os números felizes são definidos pelo seguinte procedimento. Começando com qualquer número inteiro positivo, o número é substituído pela soma dos quadrados dos seus dígitos, e repetir o processo até que o número seja igual a 1 ou até que ele entre num ciclo infinito que não inclui um ou seja a soma dos quadrados dos algarismos do quadrado de um número positivo inicial. Os números no fim do processo de extremidade com 1, são conhecidos como números felizes, mas aqueles que não terminam com um 1 são números chamados infelizes.[1]

Definição

Mais formalmente, dado um número n = n 0 {\displaystyle n=n_{0}} , Define uma seqüência n 1 {\displaystyle n_{1}} , n 2 {\displaystyle n_{2}} , ... onde n i + 1 {\displaystyle n_{i+1}} é a soma dos quadrados dos dígitos n i {\displaystyle n_{i}} . Então n {\displaystyle n} é feliz se e somente se existe i tal modo que n i = 1 {\displaystyle n_{i}=1} .[2]

Exemplos

7 é um número feliz:[3]

72 = 49
42 + 92 = 97
92 + 72 = 130
12 + 32 + 02 = 10
12 + 02 = 1.

Se n {\displaystyle n} não é feliz, a soma dos quadrados nunca dará 1, serão gerados infinitos termos.

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...

Os números felizes entre 1 e 500 são:

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490 e 496.[4]

Referências

  1. ↑ José Luiz Pastore Mello. «Confira como encontrar um número feliz». UOL Vestibular. Consultado em 3 de novembro de 2013 
  2. ↑ Professor Cardy. «Números Felizes». Dicionário de Matemática. Consultado em 3 de novembro de 2013 
  3. ↑ «Números felizes - Aqueles que riem à toa». Numerofilia. 5 de julho de 2011. Consultado em 3 de novembro de 2013. Arquivado do original em 3 de novembro de 2013 
  4. ↑ «Happy numbers: numbers whose trajectory under iteration of sum of squares of digits map includes» (em inglês). The OEIS. Consultado em 3 de novembro de 2013 

Bibliografia

  • Dudeney, H. E. Problem 143 in 536 Puzzles & Curious Problems. New York: Scribner, pp. 43 and 258-259, 1967.
  • Guy, Richard (2004). Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-20860-7
  • Guy, Richard "Happy Numbers." §E34 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 234-235, 1994.
  • Madachy, J. S. Madachy's Mathematical Recreations. New York: Dover, pp. 163-165, 1979.
  • Porges, A. "A Set of Eight Numbers." Amer. Math. Monthly 52, 379-382, 1945.

Ligações externas

  • «Um número feliz, Adalberto Nascimento.» 
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Classes de números primos
Por fórmula
  • Fermat ( 2 2 n + 1 ) {\displaystyle (2^{2^{n}}+1)}
  • Mersenne ( 2 p − 1 ) {\displaystyle (2^{p}-1)}
  • Duplo de Mersenne ( 2 2 p − 1 − 1 ) {\displaystyle (2^{2^{p}-1}-1)}
  • Wagstaff ( 2 p + 1 ) 3 {\displaystyle {\frac {(2^{p}+1)}{3}}}
  • Proth ( k ⋅ 2 n + 1 ) {\displaystyle (k\cdot 2^{n}+1)}
  • Factorial ( n ! ± 1 ) {\displaystyle (n!\pm 1)}
  • Primorial ( p n # ± 1 ) {\displaystyle (p_{n}\#\pm 1)}
  • Euclides ( p n # + 1 ) {\displaystyle (p_{n}\#+1)}
  • Pitagórico ( 4 n + 1 ) {\displaystyle (4n+1)}
  • Pierpont ( 2 u ⋅ 3 v + 1 ) {\displaystyle (2^{u}\cdot 3^{v}+1)}
  • Solinas ( 2 a ± 2 b ± 1 ) {\displaystyle (2^{a}\pm 2^{b}\pm 1)}
  • Cullen ( n ⋅ 2 n + 1 ) {\displaystyle (n\cdot 2^{n}+1)}
  • Woodall ( n ⋅ 2 n − 1 ) {\displaystyle (n\cdot 2^{n}-1)}
  • Cubano ( x 3 − y 3 ) ( x − y ) {\displaystyle {\frac {(x^{3}-y^{3})}{(x-y)}}}
  • Carol ( 2 n − 1 ) 2 − 2 {\displaystyle {(2^{n}-1)}^{2}-2}
  • Kynea ( 2 n + 1 ) 2 − 2 {\displaystyle {(2^{n}+1)}^{2}-2}
  • Leyland ( x y + y x ) {\displaystyle (x^{y}+y^{x})}
  • Thabit ( 3 ⋅ 2 n − 1 ) {\displaystyle (3\cdot 2^{n}-1)}
  • Mills (chão ( A 3 n ) {\displaystyle (A^{3^{n}})} )
Por sequência de inteiros
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  • Partições
  • Pell
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  • Newman–Shanks–Williams
Por propriedade
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  • Par de Wieferich
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Dependentes de bases
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  • Longo
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Padrões
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  • Tripla ( p , p + 2   o u   p + 4 , p + 6 ) {\displaystyle (p,p+2~ou~p+4,p+6)}
  • Quádrupla ( p , p + 2 , p + 6 , p + 8 ) {\displaystyle (p,p+2,p+6,p+8)}
  • Tuplo
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  • Cadeia de Cunningham ( p , 2 p ± 1 , … ) {\displaystyle (p,2p\pm 1,\ldots )}
  • Seguro ( p , ( p − 1 ) 2 ) {\displaystyle (p,{\frac {(p-1)}{2}})}
  • Progressão aritmética ( p + a ⋅ n , n = 0 , 1 , … ) {\displaystyle (p+a\cdot n,n=0,1,\ldots )}
  • Equilibrado (consecutivos p − n , p , p + n ) {\displaystyle p-n,p,p+n)}
Por dimensão
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