Modelo Galves-Löcherbach

O Modelo Galves-Löcherbach é um modelo com estocasticidade intrínseca para redes de neurônios, no qual a probabilidade de disparos futuros é dependente da evolução total do sistema desde o último disparo.^[1] Esse modelo de redes neurais foi desenvolvido pelos matemáticos Antonio Galves e Eva Löcherbach. No artigo original, de 2013, os autores chamaram o modelo de "sistema de cadeias estocásticas com memória de alcance variável interagindo entre si".

História

Algumas inspirações do modelo são o sistema de partículas em interação de Frank Spitzer e a noção de cadeias estocásticas com memória de alcance variável de Jorma Rissanen. Outro trabalho que o influenciou inclui o estudo de Bruno Cessac com o modelo integra-e-dispara com vazamento, que por sua vez teve influência de Hédi Soula.^[2] Os próprios autores chamaram o processo apresentado por Cessac de "uma versão em dimensão finita" do modelo probabilístico.

Modelos anteriores de integra-e-dispara com características estocásticas necessitavam a inserção de um ruído para simular a estocasticidade.^[3] Esse modelo se destaca por ser inerentemente estocástisco, incorporando questões probabilísticas diretamente no cálculo dos disparos. Ele também é um modelo de implementação relativamente simples, do ponto de vista computacional, com uma boa relação entre custo e eficiência. É também um modelo não-markoviano, pois a probabilidade da ocorrência de um disparo de um neurônio dado depende da atividade acumulada do sistema desde o último disparo.

Desenvolvimentos do modelo foram realizados, contemplando a noção de limites hidrodinâmicos do sistema de neurônios em interação,^[4] o comportamento de longo prazo e aspectos referentes à estabilidade do processo no sentido de prever e classificar diferentes comportamentos como uma função dos parâmetros,^[5][6] e a generalização do modelo para tempo contínuo.^[7]

O modelo Galves-Löcherbach foi a pesquisa angular no desenvolvimento do Centro de Pesquisa, Inovação e Difusão em Neuromatemática.^[8]

Definição formal

O modelo supõe um conjunto enumerável de neurônios ${\displaystyle I}$, e modela sua evolução em instantes de tempo discretos ${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$ por meio de uma cadeia estocástica ${\displaystyle (X_{t})_{t\in \mathbb {Z} }}$ assumindo valores no espaço de estados ${\displaystyle \{0,1\}^{I}}$. Mais precisamente, para cada neurônio ${\displaystyle i\in I}$ e instante de tempo ${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$, definimos ${\displaystyle X_{t}(i)=1}$ se o neurônio ${\displaystyle i}$ dispar no instante de ${\displaystyle t}$, e ${\displaystyle X_{t}(i)=0}$ em caso contrário. A configuração do conjunto de neurônios, no instante de tempo ${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$, é então definida por ${\displaystyle X_{t}=(X_{t}(i),i\in I)}$. Para cada instante de tempo ${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$, definimos a sigma-álgebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma (X_{s}(j),j\in I,s\leq t)}$, representando o histórico da evolução da atividade deste conjunto de neurônios até o instante de tempo em questão ${\displaystyle t}$. A dinâmica da atividade deste conjunto de neurônios é definida do seguinte modo. Fixado o histórico ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t-1}}$, os neurônios disparam ou não no instante de tempo seguinte ${\displaystyle t}$ independentemente uns dos outros, isto é, para cada subconjunto ${\displaystyle F\subset I}$ finito e qualquer configuração ${\displaystyle a_{i}\in \{0,1\},i\in F,}$ tem-se que

Além disso, a probabilidade de um dado neurônio ${\displaystyle i}$ disparar em um dado tempo ${\displaystyle t}$, de acordo com o modelo probabilístico, é dada pela fórmula

sendo ${\displaystyle W_{j\rightarrow i}}$ um peso sináptico que representa o aumento do potencial de ação do neurônio ${\displaystyle i}$ devido ao disparo do neurônio ${\displaystyle j}$, ${\displaystyle g_{j}}$ é uma função que modela o vazamento de potencial e ${\displaystyle L_{t}^{i}}$ o momento de disparo mais recente do neurônio ${\displaystyle i}$ antes do tempo em questão ${\displaystyle t}$, de acordo com a fórmula

No instante ${\displaystyle s}$ anterior a ${\displaystyle t}$, o neurônio ${\displaystyle i}$ dispara, restaurando o potencial de ação ao valor inicial.

Ver também

• Modelos de disparos neuronais
• Modelo Hodgkin-Huxley
• Neurociência computacional
• NeuroMat

Referências