Fórmulas de Newton-Cotes

Fórmula de Newton-Cotes para n=2

Em Análise numérica, as Fórmulas de Newton-Cotes, também chamadas de Regras de Quadratura de Newton-Cotes, ou simplesmente Regras de Newton-Cotes, são um grupo de fórmulas para Integração numérica (também chamadas de Quadratura) baseadas na avaliação do integrante em pontos igualmente espaçados. Foram batizadas em homenagem a Isaac Newton e Roger Cotes.

As fórmulas de Newton-Cotes podem ser úteis se o valor do integrante, em pontos igualmente espaçados, é fornecido. Se for possível trocar os pontos nos quais o integrante é avaliado, então outros métodos, como Quadratura Gaussiana e Quadratura de Clenshaw–Curtis são, provavelmente, mais adequados.

Descrição

Assume-se que o valor da função ƒ, definida entre [a, b] é conhecido, em pontos xi entre i = 0, …, n igualmente espaçados, onde x0 = a e xn = b. Existem dois tipos de Fórmulas Newton–Cotes, as "fechadas" que utilizam o valor da função em todos os pontos, e as "abertas", que não utilizam os valores da função nas extremidades. A fórmula de Newton–Cotes, de grau n é definida como:

∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i = 0 n w i f ( x i ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i})}

Onde xi = h i + x0, com h (tamanho do passo) igual a (xn − x0) / n = (b − a) / n. Os wi são chamados de pesos.

Como demonstrado na derivação seguinte, os pesos são derivados das bases polinomiais de Lagrange. Isto significa que eles dependem apenas de xi e não da função ƒ. Sendo L(x) a interpolação polinomial em Lagrange para os pontos dados (x0, ƒ(x0) ), …, (xn, ƒ(xn) ), então:

∫ a b f ( x ) d x ≈ ∫ a b L ( x ) d x = ∫ a b ( ∑ i = 0 n f ( x i ) l i ( x ) ) d x = ∑ i = 0 n f ( x i ) ∫ a b l i ( x ) d x ⏟ w i . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}{\bigl (}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x){\bigr )}\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.}

A fórmula de Newton-Cotes aberta, de grau n é definida como:

∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n − 1 w i f ( x i ) . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n-1}w_{i}\,f(x_{i}).}

Os pesos são encontrados de maneira similar á fórmula fechada.

Instabilidade para graus mais elevados

Uma fórmula de Newton-Cotes de qualquer grau n pode ser construída. Porém, para n elevados, a regra de Newton-Cotes pode sofrer do Fenômeno de Runge, onde erros aumentam exponencialmente para n elevados. Métodos como a Quadratura Gaussiana e a Quadratura de Clenshaw-Curtis com pontos espaçados de maneira desigual (acumulados nas extremidades do intervalo de integração) são estáveis e muito mais precisos, e são geralmente escolhidos no lugar de Newton-Cotes. Se estes métodos não podem ser utilizados, porque o integrante é dado em uma grade igualmente distribuída, o Fenômeno de Rungue pode ser evitado utilizando a regra composta, como explicado a seguir.

Fórmula de Newton Cotes fechada

Esta tabela lista algumas das Fómulas de Newton-Cotes do tipo fechadas. A notação f i {\displaystyle f_{i}} é a abreviação de f ( x i ) {\displaystyle f(x_{i})} , com xi = a + i (b − a) / n,, e n graus.

Fórmulas de Newton–Cotes Fechadas
Grau Nome usual Fórmula Termo de erro
1 Regra do Trapézio b − a 2 ( f 0 + f 1 ) {\displaystyle {\frac {b-a}{2}}(f_{0}+f_{1})} − ( b − a ) 3 12 f ( 2 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )}
2 Regra de Simpson b − a 6 ( f 0 + 4 f 1 + f 2 ) {\displaystyle {\frac {b-a}{6}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})} − ( b − a ) 5 2880 f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}\,f^{(4)}(\xi )}
3 Regra 3/8 de Simpson b − a 8 ( f 0 + 3 f 1 + 3 f 2 + f 3 ) {\displaystyle {\frac {b-a}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})} − ( b − a ) 5 6480 f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}\,f^{(4)}(\xi )}
4 Regra de Boole b − a 90 ( 7 f 0 + 32 f 1 + 12 f 2 + 32 f 3 + 7 f 4 ) {\displaystyle {\frac {b-a}{90}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})} − ( b − a ) 7 1935360 f ( 6 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {(b-a)^{7}}{1935360}}\,f^{(6)}(\xi )}

O expoente do segmento de tamanho b - a no termo de erro mostra a taxa com a qual o erro de aproximação diminui. A derivada de ƒ no termo do erro mostra que polinômios podem ser integrados exatamente (por exemplo, com erro igual a zero). Note que a derivada de ƒ no termo do erro aumenta em 2 para cada outra regra. O número ξ {\displaystyle \xi } está entre a e b.

Fórmulas de Newton Cotes Abertas

Esta tabela lista algumas das fórmulas de Newton-Cotes do tipo abertas. Novamente, 'ƒi é abreviação de ƒ(xi), com xi = a + i (b − a) / n, de n graus.

Fórmulas de Newton–Cotes Abertas
Nome usual Tamanho do passo Fórmula Termo do erro Grau
Método Retangular b − a 2 {\displaystyle {\frac {b-a}{2}}} ( b − a ) f 1 {\displaystyle (b-a)f_{1}\,} ( b − a ) 3 24 f ( 2 ) ( ξ ) {\displaystyle {\frac {(b-a)^{3}}{24}}\,f^{(2)}(\xi )} 2
Método do Trapezio b − a 3 {\displaystyle {\frac {b-a}{3}}} b − a 2 ( f 1 + f 2 ) {\displaystyle {\frac {b-a}{2}}(f_{1}+f_{2})} ( b − a ) 3 36 f ( 2 ) ( ξ ) {\displaystyle {\frac {(b-a)^{3}}{36}}\,f^{(2)}(\xi )} 3
Regra de Milne b − a 4 {\displaystyle {\frac {b-a}{4}}} b − a 3 ( 2 f 1 − f 2 + 2 f 3 ) {\displaystyle {\frac {b-a}{3}}(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})} 7 ( b − a ) 5 23040 f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle {\frac {7(b-a)^{5}}{23040}}f^{(4)}(\xi )} 4
Sem nome b − a 5 {\displaystyle {\frac {b-a}{5}}} b − a 24 ( 11 f 1 + f 2 + f 3 + 11 f 4 ) {\displaystyle {\frac {b-a}{24}}(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})} 19 ( b − a ) 5 90000 f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle {\frac {19(b-a)^{5}}{90000}}f^{(4)}(\xi )} 5

Regra Composta

Para que as regras de Newton-Coles sejam precisas, o tamanho de passo h precisa ser pequeno, o que significa que o intervalo de integração [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , deve ser pequeno, comportamento que não se observa na maioria das vezes. Por esta razão, usualmente se realiza uma integração numérica, dividindo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} em subintervalos menores, aplicando a regra de Newton-Cotes em cada subintervalo, e somando os resultados. Isto é chamado de Regra composta, veja Análise Numérica.


Referências

  • M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulae, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.)
  • George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.)
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 4.1. Classical Formulas for Equally Spaced Abscissas», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, ISBN 978-0-521-88068-8 3rd ed. , New York: Cambridge University Press 
  • Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.)

Ligações externas

  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Newton-Cotes quadrature formula», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
  • Newton–Cotes formulae on www.math-linux.com
  • Newton–Cotes Formulae[ligação inativa]
  • Weisstein, Eric W. «Newton-Cotes Formulae» (em inglês). MathWorld 
  • Module for Newton–Cotes Integration, fullerton.edu
  • Newton–Cotes Integration, numericalmathematics.com