Extensão de Galois

Em álgebra abstrata, uma extensão de corpo algébrica E/K se diz extensão de Galois (ou extensión galoisiana) se é uma extensão normal e separável. Neste caso, se pode considerar o grupo de Galois da extensão e sobre ele é válida a tese do Teorema Fundamental da Teoria de Galois.

Definição

Seja a extensão E sobre um corpo básico K (E/K).

  • Por ser normal, E é o corpo de decomposição de um polinômio com coeficientes em K; ou, equivalentemente, as K-imersões de E em um corpo algebricamente fechado que contenha K são automorfismos de E sobre K.
  • Por ser separável, este polinômio decompõe-se completamente em raízes simples.

Grupo de Galois

Ver artigo principal: Grupo de Galois

Sobre uma extensão de Galois E/K, se define o grupo de Galois Gal(E/K) como o grupo dos automorfismos de E sobre K. Por ser E/K normal, toda K-imersão entre E e Ω é um automorfismo e se tem:

G a l ( E / K ) = A u t K ( E ) = { σ : E → K ¯ : σ   K − imersao } {\displaystyle Gal(E/K)=Aut_{K}(E)=\lbrace \sigma :E\rightarrow {\bar {K}}:\sigma {\mbox{ }}K-{\mbox{imersao}}\rbrace }

sendo o cardinal do grupo | G a l ( E / K ) | = | A u t K ( E ) | = [ E : K ] {\displaystyle |Gal(E/K)|=|Aut_{K}(E)|=\lbrack E:K\rbrack } .

Exemplos e contra-exemplos

  • A extensão Q ( 2 3 ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})/\mathbb {Q} \,} não é de Galois; esta extensão não é normal.
  • Para qualquer número primo p, seja ζ p {\displaystyle \zeta _{p}} uma raiz primitiva p-ésima da unidade. Então a extensão Q ( 2 p , ζ p ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})} é uma extensão de Galois. Esta extensão é o corpo de decomposição do polinômio p(x) = xp − 2.