Espaço paracompacto

Em matemática, em especial na análise funcional e topologia, um espaço paracompacto é um espaço topológico no qual toda cobertura aberta admite um refinamento localmente finito.

Conceitos preliminares

Definição 1: Um refinamento de uma cobertura de um espaço X é uma nova cobertura do mesmo espaço tal que cada conjunto da nova cobertura é um subconjunto de algum elemento da antiga cobertura. Simbolicamente, a cobertura ${\displaystyle V=\{V_{\beta }:\beta \in B\}}$ é um refinamento da cobertura ${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ se, e somente se, para qualquer ${\displaystyle V_{\beta }\in V}$, existe algum ${\displaystyle U_{\alpha }\in U}$ tal que ${\displaystyle V_{\beta }}$ está contido em ${\displaystyle U_{\alpha }}$.

Definição 2: Uma cobertura aberta de um espaço topológico ${\displaystyle (X,\tau )}$ é localmente finita se todo ponto do espaço admite uma vizinhança aberta que intersecta apenas um número finito de elementos da cobertura. Simbolicamente, ${\displaystyle U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ é localmente finito se, e somente se, ${\displaystyle \forall x\in X}$, existe uma vizinhança ${\displaystyle V(x)}$ de ${\displaystyle x}$ tal que o conjunto:

${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap V(x)\neq \varnothing \right\}}$ é finito.

O conceito de paracompacidade é uma das mais úteis generalizações de compacidade descobertas nos últimos anos. É particularmente útil para aplicações em topologia e geometria diferencial.

Muitos espaços que nos são familiares já são paracompactos. Por exemplo, todo espaço compacto é paracompacto; isto é consequência imediata da definição. Também é verdadeiro que espaços metrizáveis são paracompactos; este teorema se deve a Arthur Harold Stone. Logo, a classe dos espaços paracompactos inclui importantes classes de espaços topológicos.

Para poder observar como a paracompacidade generaliza o conceito de compacidade, recordamos a definição de compacidade:

"Um espaço ${\displaystyle X}$ é dito compacto se toda cobertura aberta de X, ${\displaystyle A}$ admite uma subcobertura finita"

Um modo equivalente de dizer isto é:

"Um espaço ${\displaystyle X}$ é compacto se toda cobertura aberta ${\displaystyle A}$ tem um refinamento finito ${\displaystyle B}$ que cobre ${\displaystyle X}$"

Esta definição é equivalente à usual: dado um refinamento ${\displaystyle B}$, pode-se escolher, para cada elemento de ${\displaystyle B}$ um elemento de ${\displaystyle A}$ que o contém; deste modo obtemos uma subcoleção finita de ${\displaystyle A}$ que cobre ${\displaystyle X}$.

Esta nova formulação de compacidade é, talvez, embaraçosa, mas nos sugere um modo de generalizar:

Definição: Um espaço topológico ${\displaystyle (X,\tau )}$ é paracompacto se toda cobertura aberta ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ admite um refinamento localmente finito ${\displaystyle B}$ que cobre ${\displaystyle X}$.

Exemplo: O espaço ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ com a topologia induzida pela métrica,${\displaystyle \tau '}$ é paracompacto. Seja ${\displaystyle (X,\tau )=(\mathbb {R} ^{n},\tau ')}$. Seja ${\displaystyle A}$ uma cobertura aberta de ${\displaystyle X}$. Seja, ainda, ${\displaystyle B_{0}=\emptyset }$, e para cada inteiro positivo ${\displaystyle m}$, seja ${\displaystyle B_{m}}$ a bola aberta de raio ${\displaystyle m}$ centrada na origem. Dado ${\displaystyle m}$, escolha um número finito de elementos de ${\displaystyle A}$ que cubra ${\displaystyle {\overline {B_{m}}}}$ e intersecte cada uma com o conjunto aberto ${\displaystyle X-{\overline {B_{m-1}}}}$; denote esta coleção finita de conjuntos abertos por ${\displaystyle C_{m}}$. Então a coleção ${\displaystyle C=\bigcup C_{m}}$ é um refinamento de ${\displaystyle A}$. É claro que este refinamento é localmente finito, pois o aberto ${\displaystyle B_{m}}$ intersecta apenas um número finito de elementos de ${\displaystyle C}$ , a saber aqueles que pertencem à coleção ${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}}$. Finalmente, ${\displaystyle C}$ cobre ${\displaystyle X}$, pois dado ${\displaystyle x\in X}$, seja ${\displaystyle m}$ o menor inteiro tal que ${\displaystyle x\in {\overline {B_{m}}}}$.

Comparação com compacidade

A paracompacidade é semelhante à compacidade nos seguintes aspectos:

• Todo subconjunto fechado de um conjunto paracompacto é paracompacto;
• Todo conjunto paracompacto de um espaço de Hausdorff é normal.

A paracompacidade é diferente da compacidade nos seguintes aspectos:

• Um subconjunto paracompacto de um espaço de Hausdorff não precisa, necessariamente, ser fechado. de fato, para o caso de espaços métricos, qualquer subconjunto é paracompacto.
• O produto cartesiano de espaços paracompactos não é, necessariamente, paracompacto. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ com a topologia do limite inferior, o plano de Sogenfrey, é um exemplo clássico disto.