Espaço conexo

Em topologia, conexidade ^{(português brasileiro)} ou conectividade ^{(português europeu)} é a propriedade de um espaço conexo, isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.^[1]

Definição

Uma cisão de um conjunto é a decomposição ${\displaystyle X=A\cup B}$ em dois abertos disjuntos. Todo conjunto admite a cisão trivial em que ${\displaystyle A=X}$ e ${\displaystyle B=\emptyset }$. Um conjunto chama-se conexo quando admite apenas a cisão trivial.^[1]

Equivalências

Os subconjuntos ${\displaystyle \emptyset }$ e ${\displaystyle X}$ são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de ${\displaystyle X}$. Assim, equivalentemente, se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então ${\displaystyle X}$ é conexo. Por outro lado, se existe ${\displaystyle A}$ não-vazio aberto e fechado em ${\displaystyle X}$, então ${\displaystyle X}$ é desconexo.^[2]

Exemplos

• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle \mathbb {C} }$ são conexos, enquanto ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ e ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ são desconexos.
• Em ${\displaystyle \mathbb {R} }$, os únicos subconjuntos conexos são os intervalos.^[3]
• ${\displaystyle \mathbb {R} -\{0\}}$ é desconexo pois possui a cisão não-trivial ${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )}$.^[1]

Propriedades

• A imagem de um conexo por uma aplicação contínua é um conexo.^[4]
• Todo conjunto homeomorfo a um conexo é conexo.^[4]
• A união de uma família de conjuntos conexos que possuam um ponto em comum é conexa.^[5]
• O produto cartesiano de dois conjuntos é conexo se, e somente se, ambos são conexos.^[5]
• O fecho de um conjunto conexo é conexo.^[6]

Componentes conexas

Mesmo que um conjunto ${\displaystyle X}$ não seja conexo, ele sempre poderá ser representado pela união disjunta de suas componentes conexas.^[7]

A componente conexa ${\displaystyle C_{x}}$ é o maior subconjunto conexo que contém ${\displaystyle x\in X}$.^[7] Para quaisquer dois pontos de ${\displaystyle X}$, suas componentes conexas ou coincidem ou são disjuntas. Se possuem um ponto em comum, são a mesma componente conexa, pois a componente conexa é o maior subconjunto conexo contendo um dado ponto; se não possuem, são disjuntas.^[7]

Por exemplo, para ${\displaystyle \mathbb {R} -\{0\}}$, a componente conexa de ${\displaystyle -1}$ é ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ e a componente conexa de ${\displaystyle 1}$ é ${\displaystyle (0,+\infty )}$. No caso, essas são as duas componentes conexas do conjunto.^[7]

Propriedades

Toda componente conexa de ${\displaystyle X}$ é um conjunto fechado em ${\displaystyle X}$.^[7]

Homeomorfismos estabelecem, entre os dois espaços, uma bijeção entre as componentes conexas de um com as componentes conexas do outro.^[7] Sendo assim, dois conjuntos homeomorfos possuem a mesma quantidade de componentes conexas.^[7]

Conexo por caminhos

Um tipo de conexidade mais estrita é a conexidade por caminhos.^[8]

Um caminho num conjunto ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ é uma função contínua definida num intervalo real que passa por pontos de ${\displaystyle X}$. Dois pontos podem ser ligados por um caminho quando existe um caminho ${\displaystyle f}$ tal que esses pontos estejam na imagem de ${\displaystyle f}$.^[9] Um conjunto se diz conexo por caminhos quando quaisquer dois pontos podem ser ligados por um caminho.^[9]

Todo conjunto conexo por caminhos é conexo, mas a recíproca é falsa.^[10] Por exemplo, no ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ o gráfico da função ${\displaystyle f(x)={\mbox{sen}}{\frac {1}{x}}}$ para ${\displaystyle 0<x\leq 1}$ com a origem ${\displaystyle (0,0)}$ é conexo mas não é conexo por caminhos.^[10]

Propriedades

• A união de dois conjuntos conexos por caminhos, de interseção não-vazia, é conexa por caminhos.^{[carece de fontes?]}
• A topologia produto de dois conjuntos conexos por caminhos é conexa por caminhos.^{[carece de fontes?]}
• Todo conjunto convexo é conexo por caminhos.^[11]
• No ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, um conjunto aberto é conexo se, e somente se, é conexo por caminhos.^[12]

Ver também

• Conexidade simples

Referências

Bibliografia

• Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada 
• Munkres, James R. (2000), Topology, ISBN 9780131816299, Prentice Hall, Incorporated .