Desigualdade de Hölder

Em matemática, sobretudo no estudo dos espaços funcionais, a desigualdade de Hölder é uma desigualdade fundamental no estudo dos espaços L^p. A desigualdade tem esse nome em homenagem ao matemático alemão Otto Hölder.

Desigualdade para somatórios finitos

Sejam ${\displaystyle 1<p,q<\infty \,}$ conjugados de Lebesgue, ou seja:

• ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,}$

Sejam ${\displaystyle a_{n}\,}$ e ${\displaystyle b_{n}\,}$ seqüências se números reais ou complexos Então:

${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}a_{n}b_{n}\right|\leq \left(\sum _{n=1}^{N}|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{n=1}^{N}|b_{n}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}}$

Desigualdade para séries

Sejam ${\displaystyle 1<p,q<\infty \,}$ conjugados de Lebesgue, ou seja:

• ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,}$

E ainda, ${\displaystyle a_{n}\in \ell ^{p}\,}$ e ${\displaystyle b_{n}\in \ell ^{q}\,}$ (veja espaço lp), vale:

${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}\right|\leq \sup _{N}\sum _{n=1}^{N}|a_{n}b_{n}|\leq \sup _{N}\left(\sum _{n=1}^{N}|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{n=1}^{N}|b_{n}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\leq \left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}}$

Desigualdade para integrais

Sejam ${\displaystyle 1<p,q<\infty \,}$ conjugados de Lebesgue, ou seja:

• ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,}$

Sejam ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} \,}$ e ${\displaystyle g:D\to \mathbb {R} \,}$ funções ${\displaystyle f\in L^{p}\,}$, ${\displaystyle g\in L^{q}\,}$ e ${\displaystyle V\subseteq D\,}$, então:

${\displaystyle \left|\int _{V}f(x)g(x)dx\right|\leq \left(\int _{V}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{V}|g(x)|^{q}dx\right)^{\frac {1}{q}}}$

Observe que a desigualdade implica ${\displaystyle fg\in L^{1}(V)}$

Demonstração

A desigualdade é trivialmente válida alguma das integrais à direita for nula.

Podemos então supor que cada uma das integrais à direito é finita e não-nula, defina ainda:

• ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\frac {f(x)}{\left(\int _{V}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}}}\,}$
• ${\displaystyle {\tilde {g}}(x)={\frac {g(x)}{\left(\int _{V}|g(x)|^{q}dx\right)^{\frac {1}{q}}}}\,}$

Então estimemos pela desigualdade triangular:

${\displaystyle \left|\int _{V}f(x)g(x)dx\right|\leq \int _{V}\left|f(x)g(x)\right|dx=\left(\int _{V}|f(x)|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{V}|g(x)|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\int _{V}\left|{\tilde {f}}(x){\tilde {g}}(x)\right|dx}$

Basta mostrar que:

${\displaystyle \int _{V}\left|{\tilde {f}}(x){\tilde {g}}(x)\right|dx\leq 1}$

Agora, usamos a desigualdade de Young:

${\displaystyle |{\tilde {f}}(x){\tilde {g}}(x)|=|{\tilde {f}}(x)|\cdot |{\tilde {g}}(x)|\leq {\frac {1}{p}}|{\tilde {f}}(x)|^{p}+{\frac {1}{q}}|{\tilde {g}}(x)|^{q}}$

${\displaystyle \left|\int _{V}{\tilde {f}}(x){\tilde {g}}(x)dx\right|\leq {\frac {1}{p}}\int _{V}|{\tilde {f}}(x)|^{p}dx+{\frac {1}{q}}\int _{V}|{\tilde {g}}(x)|^{q}dx}$

Da definição de ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)\,}$ e ${\displaystyle {\tilde {g}}(x)\,}$, temos:

${\displaystyle \int _{V}|{\tilde {f}}(x)|^{p}dx=\int _{V}|{\tilde {g}}(x)|^{q}dx=1\,}$

${\displaystyle \left|\int _{V}{\tilde {f}}(x){\tilde {g}}(x)dx\right|\leq {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$

E finalmente:

${\displaystyle \left|\int _{V}f(x)g(x)dx\right|\leq \left(\int _{V}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{V}|g(x)|^{q}dx\right)^{\frac {1}{q}}}$

Espaços L^p

Na linguagem dos espaços l^p, a desigualdade toma a forma:

${\displaystyle \left\|\{a_{n}b_{n}\}\right\|_{\ell ^{1}}\leq \left\|\{a_{n}\}\right\|_{\ell ^{p}}\left\|\{a_{n}b_{n}\}\right\|_{\ell ^{p^{*}}}}$

Nos espaços L^p, tem a forma:

${\displaystyle \left\|fg\right\|_{L^{1}}\leq \left\|f\right\|_{L^{p}}\left\|g\right\|_{L^{p^{*}}}}$

Observe que em ambos os casos, a desigualdade é válida no caso extremo (e trivial) ${\displaystyle p=1\,}$ ou ${\displaystyle p=\infty \,}$.

Ver também

• Desigualdade
• Desigualdade de Young
• espaço lp
• espaço Lp