Cubo

Cubo
Tipo	Sólido platônico
Faces	6
Arestas	12
Vértices	8
Símbolo de Schläfli	{4,3} t{2,4} or {4}×{} tr{2,2} or {}×{}×{}
Símbolo de Wythoff	3
Símbolo de Coxeter-Dynkin
Grupo de simetria	Oh, B3, [4,3], (*432)
Área de superfície	${\displaystyle A=6a^{2}}$
Volume	${\displaystyle V=a^{3}}$
Ângulo diédrico	90°
Poliedro dual	Octaedro
Propriedades
Regular, Convexo
Planificação

Um cubo ou hexaedro regular é um poliedro com 6 faces congruentes. Além disso, é um dos cinco sólidos platônicos, pois:

• cada face tem 4 arestas;
• de cada vértice partem 3 arestas;
• vale a relação de Euler: ${\displaystyle V-A+F=2}$, onde ${\displaystyle V}$ representa o número de vértices, ${\displaystyle A}$ o número de arestas e ${\displaystyle F}$ o número de faces.^[1]

O cubo é também um poliedro regular, pois além das características de sólido platônico, possui:

• faces poligonais regulares e congruentes;
• ângulos poliédricos congruentes.^[1]

Ainda, é um prisma quadrangular regular, pois possui duas bases paralelas e congruentes (já que é um poliedro regular), suas bases são polígonos regulares (quadrados) e as arestas laterais formam ângulos retos (${\displaystyle 90^{\circ }}$) com as arestas das bases. No cubo, todos os diedros possuem ângulo reto.

O cubo é também um sólido sociável, já que ele pode ser aglomerado perfeitamente, o que significa que é possível juntar vários cubos sem que sobrem espaços vazios.^[2]

Obtenção do número de vértices do cubo utilizando a relação de Euler

Como definido anteriormente, o cubo possui 6 faces quadrangulares, de modo que cada face possui 4 arestas. Daí, multiplicando o número de faces pelo número de arestas, tem-se:

${\displaystyle 6\cdot 4=24}$

Porém, o número de arestas obtido é o dobro do número de arestas total do cubo, já que cada aresta pertence a duas faces. Por isso, é necessário dividir o resultado acima por 2. Logo:

${\displaystyle 24\div 2=12}$

Daí, segue que 12 é o número total de arestas do cubo.

Para obter o número de vértices do cubo, basta substituir na relação de Euler os valores obtidos:

${\displaystyle V-A+F=2}$

sendo ${\displaystyle F=6}$ e ${\displaystyle A=12}$, tem-se:

${\displaystyle V-12+6=2\Rightarrow V-6=2\Rightarrow V-6+6=2+6\Rightarrow V=8}$

Logo, 8 é o número de vértices do cubo.

Obtenção do número de vértices, arestas e faces partindo da informação do número de lados do polígono da base do prisma

Sendo ${\displaystyle n}$ o número de lados do polígono da base do prisma, é possível obter o número de vértices, arestas e faces que possui, já que todo prisma é composto por:

• ${\displaystyle 2}$ bases congruentes;
• ${\displaystyle n}$ faces laterais e ${\displaystyle n+2}$ faces no total - as ${\displaystyle n}$ faces laterais e as ${\displaystyle 2}$ bases (as faces laterais são paralelogramos e dependem do número de lados do polígono da base);
• ${\displaystyle n}$ arestas laterais e ${\displaystyle 3n}$ arestas no total;
• ${\displaystyle 2n}$ vértices - resultado da soma do número de vértices dos polígonos das bases.^[1]

Assim, como o polígono da base do cubo é um quadrado, tem-se:

${\displaystyle n=4.}$

Logo, substituindo ${\displaystyle n}$ por ${\displaystyle 4}$, nas relações estabelecidas acima, conclui-se que:

• ${\displaystyle F=n+2=4+2=6}$

• ${\displaystyle A=3n=3\cdot 4=12}$

• ${\displaystyle V=2n=2\cdot 4=8}$.

Planificação do cubo

O cubo possui, no total, 11 planificações distintas.^[3][4] E são elas:

Área total da superfície do cubo

Como o cubo é formado por 6 faces regulares e congruentes (6 quadrados), basta calcular a área de uma de suas faces e multiplicar por 6.

Sabendo que a área de um quadrado com lado medindo ${\displaystyle l}$ é dada por ${\displaystyle l^{2}}$ e supondo que cada aresta do cubo tenha medida ${\displaystyle a}$, concluí-se que a área de cada face (quadrado) será ${\displaystyle a^{2}}$.

Logo a área total da superfície do cubo será ${\displaystyle 6a^{2}}$.^[1]

Diagonal do cubo

É possível obter a diagonal do cubo utilizando o Teorema de Pitágoras. Basta descobrir o valor da diagonal de uma de suas faces em função do valor da aresta ${\displaystyle a}$ e depois utilizá-lo para obter a diagonal do cubo.

Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras:

${\displaystyle a^{2}+a^{2}=({\overline {AC}})^{2}}$

onde ${\displaystyle a}$ representa a medida da aresta do cubo e ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ representa a medida da diagonal de uma das faces do cubo. Portanto:

${\displaystyle a^{2}+a^{2}=({\overline {AC}})^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow 2a^{2}=({\overline {AC}})^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {2a^{2}}}={\sqrt {({\overline {AC}})^{2}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow a{\sqrt {2}}={\overline {AC}}.}$^[1]

Daí, novamente utilizando o Teorema de Pitágoras:

${\displaystyle a^{2}+({\overline {AC}})^{2}=({\overline {AC'}})^{2}}$

em que ${\displaystyle {\overline {AC'}}}$ representa a diagonal do cubo, ${\displaystyle a}$ representa a aresta do cubo e ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ a diagonal de uma das faces. Substituindo ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ por ${\displaystyle a{\sqrt {2}}}$:

${\displaystyle a^{2}+({\overline {AC}})^{2}=({\overline {AC'}})^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow a^{2}+{\Big (}{a{\sqrt {2}}}{\Big )}^{2}=({\overline {AC'}})^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow a^{2}+2a^{2}=({\overline {AC'}})^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow 3a^{2}=({\overline {AC'}})^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {3a^{2}}}={\sqrt {({\overline {AC'}})^{2}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow a{\sqrt {3}}={\overline {AC'}}.}$^[1]

Ou seja, a diagonal do cubo é dada por ${\displaystyle a{\sqrt {3}}}$.

Volume do cubo

Sendo um prisma, o volume do cubo pode ser obtido pelo produto da base pela altura.^[5] Assim,

${\displaystyle V=Ab\cdot h}$

onde ${\displaystyle V}$ representa o volume, ${\displaystyle Ab}$ a área da base e ${\displaystyle h}$ a altura.

Como a base é um quadrado de lado ${\displaystyle a}$ e a altura também vale ${\displaystyle a}$ (já que todas as arestas do cubo possuem a mesma medida), obtém-se:

${\displaystyle V=a^{2}\cdot a\Rightarrow V=a^{3}.}$^[5]

Caso a aresta seja duplicada, formando um cubo de aresta ${\displaystyle 2a}$, o seu volume será 8 vezes maior que o inicial, pois:

${\displaystyle V=(2a)^{3}\Rightarrow V=8a^{3}.}$

Esfera inscrita em cubo/Cubo circunscrito à esfera

Caso a esfera esteja inscrita no cubo, ela tangenciará cada face do cubo exatamente no centro. Assim, a medida da aresta do cubo será o dobro da medida do raio da esfera inscrita, ou seja, será igual a medida do diâmetro da esfera.

Utilizando ${\displaystyle r}$ para representar a medida do raio da esfera inscrita no cubo:

${\displaystyle 2r=a\Rightarrow r={\frac {a}{2}}.}$^[1]

Esfera circunscrita ao cubo/Cubo inscrito em esfera

Caso o cubo esteja inscrito em uma esfera, todos seus vértices irão tangenciar a esfera.

Se ${\displaystyle R}$ representa o raio da esfera circunscrita ao cubo, ${\displaystyle 2R}$ representa o diâmetro. Mas o diâmetro da esfera é igual ao valor da diagonal do cubo (já calculado anteriormente). Portanto:

${\displaystyle 2R=a{\sqrt {3}}\Rightarrow R={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}.}$^[1]

Poliedro dual do cubo

O poliedro dual do cubo é o octaedro regular.

Para obter o poliedro dual de um poliedro, inicialmente marca-se o centro de cada face do poliedro original, em seguida liga-se, por segmento de reta, cada um destes centros aos centros das faces adjacentes e por fim desconsidera-se o poliedro original.^[6]

Medida da aresta do octaedro inscrito em um cubo de aresta ${\displaystyle a}$

Como cada vértice do octaedro encontra-se exatamente no centro da face do cubo, basta utilizar o Teorema de Pitágoras. Daí, cada cateto irá medir a metade da aresta ${\displaystyle a}$ do cubo. Fixando ${\displaystyle x}$ para representar a hipotenusa (medida da aresta do octaedro), obtém-se:

${\displaystyle x^{2}=\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{2}+\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow x^{2}=2\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow x^{2}=2\cdot {\dfrac {a^{2}}{4}}}$

${\displaystyle \Rightarrow x^{2}={\dfrac {2a^{2}}{4}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {x^{2}}}={\sqrt {\dfrac {2a^{2}}{4}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow x={\dfrac {a{\sqrt {2}}}{2}}.}$^[1]

Portanto, a medida da aresta do octaedro é ${\displaystyle {\dfrac {a{\sqrt {2}}}{2}}}$.

Exemplos

• 
  Um cubo em rotação
• 
  Dados de 6 faces
• 
  Cubo
  (Matemateca_IME-USP)
• Revolução de um cubo
  (Matemateca_IME-USP)

Ver também

• Tesserato
• Cubo truncado
• Cubo snub
• Cuboctaedro
• Cuboctaedro truncado
• Hexaedro tetrakis

Referências

Ligações externas

• Modelo 3D Interativo do Cubo

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