Campo de Jacobi

Na geometria de Riemann, um campo de Jacobi é um campo vetorial ao longo de uma geodésica ${\displaystyle \gamma }$ em uma variedade Riemanniana descrevendo a diferença entre a geodésica e uma geodésica "infinitesimamente próxima". Em outras palavras, os campos de Jacobi ao longo de uma geodésica formam o espaço tangente à geodésica no espaço de todas as geodésicas. Estes campos são nomeados em homenagem a Carl Jacobi^[1].

Solução da equação de Jacobi

Deixe ${\displaystyle e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/|{\dot {\gamma }}(0)|}$ e conclua isso para obter uma base ortonormal ${\displaystyle {\big \{}e_{i}(0){\big \}}}$ em ${\displaystyle T_{\gamma (0)}M}$. Transporte em paralelo para encontrar a base ${\displaystyle \{e_{i}(t)\}}$ ao longo de ${\displaystyle \gamma }$. Isto dá uma base ortonormal com ${\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}(t)|}$.

O campo Jacobi pode ser escrito em coordenadas em termos dessa base como ${\displaystyle J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)}$ e assim

${\displaystyle {\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J=\sum _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t),}$

e a equação de Jacobi pode ser reescrita como um sistema

${\displaystyle {\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0}$ para cada ${\displaystyle k}$.

Desta forma, obtemos uma equação diferencial linear ordinária (ODE). Como esse ODE possui coeficientes uniformes, temos que existem soluções para todos ${\displaystyle t}$ e são únicas, dado ${\displaystyle y^{k}(0)}$ e ${\displaystyle {y^{k}}'(0)}$, para todo ${\displaystyle k}$.^[2].

Referências

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