Wzór sumacyjny Eulera (ang. Euler’s summation formula)[1][2][3][4] – tożsamość stosowana w analitycznej teorii liczb. Podobnie jak wzór sumacyjny Abela, pozwala on wyrazić dyskretną sumę wartości danej funkcji różniczkowalnej przez całkę. Wzór ten został przedstawiony przez Leonharda Eulera w 1736 r.[3], a następnie uogólniony[4]. Jest to szczególny przypadek wzoru sumacyjnego Eulera-Maclaurina[1].
Treść twierdzenia
Niech dane będą liczby
oraz funkcja
różniczkowalna na przedziale
Wówczas
![{\displaystyle \sum _{y<n\leqslant x}f(n)=\int _{y}^{x}f(t)dt+\int _{y}^{x}\{t\}f'(t)dt-\{x\}f(x)+\{y\}f(y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/498babb97e5b40ab6a823d2bb5243cc90c45c9ea)
gdzie suma po lewej stronie jest po wszystkich liczbach całkowitych
a
oznacza część ułamkową liczby
Dowód. Oznaczając
sumę po prawej możemy wyrazić jako całkę Riemanna-Stieltjesa
![{\displaystyle \sum _{y<n\leqslant x}f(n)=\int _{y}^{x}f(t)dF(t)=\int _{y}^{x}f(t)dt-\int _{y}^{x}f(t)d\{t\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5148ebecebf0a2e7427a1620bcfbe9fdaa6d86)
Drugą z nich możemy wyrazić całkując przez części,
![{\displaystyle \int _{y}^{x}f(t)d\{t\}=\{x\}f(x)-\{y\}f(y)-\int _{y}^{x}\{t\}f'(t)dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab0f07840b8f5cd821ac21decfb3485189a5eccf)
Stąd wynika wzór Eulera[5].
Przykłady
Szereg harmoniczny
Osobny artykuł: Szereg harmoniczny.
Niech
![{\displaystyle S(x)=\sum _{n\leqslant x}{\frac {1}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/069340b04d9f13f0eb0099164e343a441fc21760)
Udowodnimy, że
![{\displaystyle S(x)=\log x+\gamma +O\left({\frac {1}{x}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f212db9496e2f580f52a6d66e89f090f6c98f7)
gdzie
to logarytm naturalny, a
to stała Eulera-Mascheroniego. Dla
zachodzi
![{\displaystyle S(x)=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}-\int _{1}^{x}\{t\}{\frac {dt}{t^{2}}}+{\frac {\{x\}}{x}}+1=\log x-I(x)+1+O\left({\frac {1}{x}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66a71288602fc35e850bf8b71e5eda90cfa6c0a)
gdzie:
![{\displaystyle I(x)=\int _{1}^{x}\{t\}{\frac {dt}{t^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaccb54ba9b3ce819f70c431a2ff719e3e521728)
Zauważmy, że przy
całka
jest zbieżna. Dlatego możemy zapisać
gdzie
To dowodzi, że
![{\displaystyle S(x)=\log x+1-I+O\left({\frac {1}{x}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde4ec53e656e73f4adf10d54c4900724ba1f5d5)
gdzie stała
jest z definicji równa
![{\displaystyle 1-I=\lim _{x\to \infty }(S(x)-\log x)=\gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884337b61b6b3a77a686acee6dc20fda073fc642)
To dowodzi podanej zależności[6].
Wzór Stirlinga
Wykażemy prawdziwość wzoru Stirlinga w postaci
![{\displaystyle \lfloor x\rfloor !=C{\sqrt {x}}x^{x}e^{-x}\left(1+O\left({\frac {1}{x}}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a35173e19c76d35b4ec451865bff803db10daf)
dla pewnej stałcej
gdzie
oznacza podłogę z liczby
[7]. Skorzystamy z postaci silni jako sumy częściowej logarytmów naturalnych,
![{\displaystyle \lfloor x\rfloor !=\exp(\log(\lfloor x\rfloor !))=\exp \left(\sum _{n\leqslant x}\log n\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d835da71704d925e21de8bbbcba448051476231)
Ze wzoru sumacyjnego Eulera zachodzi
![{\displaystyle \sum _{n\leqslant x}\log n=\int _{1}^{x}\log t\;dt+\int _{1}^{x}{\frac {\{t\}}{t}}dt-\{x\}\log x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5917c50523b616a5cd0dec9e38fe9a0b4bef1f2)
Pierwsza całka wynosi
![{\displaystyle \int _{1}^{x}\log t\;dt=\left.t(\log t-1)\right|_{1}^{x}=x\log x-x+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7a7b7dfa6dff384691f77258924907040e60f5)
W przypadku drugiej całki zdefiniujemy funkcję pomocniczą
![{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {\{t\}}{t}}dt=\int _{1}^{x}{\frac {1}{2t}}dt-\int _{1}^{x}{\frac {\rho (t)}{t}}dt=I_{1}(x)-I_{2}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96d84d319d76be466a57c1be660a4a7c7136449)
Widzimy, że
![{\displaystyle I_{1}(x)={\frac {1}{2}}\log x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6213c76808049dc85aab734316940a029eddce28)
W przypadku
skorzystamy z całkowania przez części.
![{\displaystyle I_{2}(x)=\left.{\frac {R(t)}{t}}\right|_{1}^{x}+I_{3}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e4de6b31dd13e81b6d9869dce11b599b23960c)
gdzie:
![{\displaystyle R(x)=\int _{1}^{x}\rho (t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dce0f640d566d1de7f4cca0b9d20281b800103ec)
oraz
![{\displaystyle I_{3}(x)=\int _{1}^{x}{\frac {R(t)}{t^{2}}}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8fad14a5c963f52c1c1a5c8fc901622df487508)
Ponieważ funkcja
jest okresowa, z okresem 1, i
to
Dlatego
![{\displaystyle \left.{\frac {R(t)}{t}}\right|_{1}^{x}=O\left({\frac {1}{x}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b7ba18f3cc227702535c6455770d5346bf7f0d)
Dodatkowo, wynika stąd, że całka
jest ograniczona z góry,
![{\displaystyle I_{3}(x)\leqslant \int _{1}^{x}{\frac {|R(t)|}{t^{2}}}dt\leqslant {\frac {1}{2}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {dt}{t^{2}}}-\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t^{2}}}\right)={\frac {1}{2}}+O\left({\frac {1}{x}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21645947e475d425837069c176f3408b7984139e)
Powyższe nierówności są prawdziwe, ponieważ całka po
jest zbieżna.
Łącząc uzyskane zależności, otrzymamy
![{\displaystyle \sum _{n\leqslant x}\log n=x\log x-x+{\frac {1}{2}}\log x+c+O\left({\frac {1}{x}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39eed66558730515c85ba4606998cc97f191935a)
Biorąc
obu stron, uzyskamy wzór.
Funkcja zeta Riemanna
Osobny artykuł: Funkcja dzeta Riemanna.
Udowodnimy, że funkcja zeta zdefiniowana za pomocą szeregu
![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31f460a787ebaf667aaf7805f2b87e542a02836b)
dla wszystkich liczb zespolonych
o części rzeczywistej
spełnia zależność[8]
![{\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-\int _{1}^{\infty }{\frac {\{t\}}{t^{s+1}}}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36f4f57ee6f396ee5f8cc89bd873a5c3c841d46c)
Biorąc
otrzymamy
![{\displaystyle \sum _{n\leqslant x}{\frac {1}{n^{s}}}=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t^{s}}}-s\int _{1}^{x}{\frac {\{t\}}{t^{s+1}}}dt-{\frac {\{x\}}{x^{s}}}+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5fee7422e06cddf6de79cf81a6575a0147402e1)
Aby z lewej strony równania otrzymać funkcję Riemanna, chcemy aby
Widzimy, że
![{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t^{s}}}={\frac {1-x^{1-s}}{s-1}}={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{x^{s-1}(s-1)}}={\frac {1}{s-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a05b1daa6be4f8776283b8fe560d0e1ad6f14672)
Stąd
![{\displaystyle \zeta (s)=1-{\frac {1}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{t\}}{t^{s+1}}}dt={\frac {s}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{t\}}{t^{s+1}}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18de87e3fc6f8b07f67267aaad351042ba03abd5)
dla
Przypisy
- ↑ a b Tom M.T.M. Apostol Tom M.T.M., An Elementary View of Euler’s Summation Formula, „The American Mathematical Monthly”, 106 (5), 1999, s. 409–418, DOI: 10.1080/00029890.1999.12005063, ISSN 0002-9890 .
- ↑ E.E. Hairer E.E., G.G. Wanner G.G., Analysis by Its History, „Undergraduate Texts in Mathematics”, 2008, s. 159–161, DOI: 10.1007/978-0-387-77036-9, ISSN 0172-6056 (ang.).
- ↑ a b LeonhardL. Euler LeonhardL., Methodus universalis serierum convergentium summas quam proxime invenien, „Commentarii academie scientiarum Petropolitana”, 8, 1736, s. 3–9 .
- ↑ a b LeonhardL. Euler LeonhardL., Methodus universalis series summandi ulterius promot, „Commentarii academie scientiarum Petropolitana”, 1736, s. 147–158 .
- ↑ Hildebrandt 2005 ↓, s. 50–51.
- ↑ Hildebrandt 2005 ↓, s. 51–52.
- ↑ Hildebrandt 2005 ↓, s. 52–54.
- ↑ Hildebrandt 2005 ↓, s. 55–56.
Bibliografia
- Adolf J.A.J. Hildebrandt Adolf J.A.J., Introduction to Analytic Number Theory, Math 531 Lecture Notes [online], University of Illinois Department of Mathematics, 2005 [dostęp 2013-01-07] (ang.).