Trójwymiarowa ilustracja wzoru Eulera Ten artykuł dotyczy wzoru Eulera w analizie zespolonej. Zobacz też: inne znaczenia.
Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą , określany nazwiskiem Leonharda Eulera.
Wzór Niech x ∈ R , {\displaystyle x\in \mathbb {R} ,} zaś i {\displaystyle i} jest jednostką urojoną, wtedy wzór Eulera ma postać[1] :
e i x = cos x + i sin x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.} Historia Wzór Eulera został dowiedziony po raz pierwszy przez Rogera Cotesa w 1714 w postaci
ln ( cos x + i sin x ) = i x . {\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)=ix.} Euler jako pierwszy opublikował go w formie „standardowej” – tej, która później stała się najczętszą. Zrobił to w 1748, opierając swój dowód na równości szeregów po obu stronach tożsamości. Żaden z nich nie podał interpretacji geometrycznej tego wzoru: utożsamienie liczb zespolonych z płaszczyzną zespoloną powstało około 50 lat później (wynik Caspara Wessela).
Dowód Rozwinięte w szereg potęgowy funkcje e x , sin x , cos x {\displaystyle e^{x},\sin x,\cos x} przyjmują postać[2] :
e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + … = ∑ n = 0 ∞ x n n ! , {\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},} sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − … = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! , {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},} cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − … = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! . {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.} Powyższe wzory służą jako definicje zespolonych funkcji exp, sin i cos, tzn. definiuje się funkcje:
exp : C → C , exp z := ∑ n = 0 ∞ z n n ! {\displaystyle \exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\ \exp z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}} [3] , sin : C → C , sin z := ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sin \colon \ \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\ \sin z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}} [4] , cos : C → C , cos z := ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \cos \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\ \cos z:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}} [4] . Definicje te są poprawne, ponieważ szeregi występujące po prawej stronie są zbieżne dla każdego z ∈ C , {\displaystyle z\in \mathbb {C} ,} gdyż kryteria zbieżności szeregów takie jak kryterium d’Alemberta i kryterium Cauchy’ego pozostają prawdziwe dla liczb zespolonych[5] .
W szczególności mamy: e i z = 1 + i z + ( i z ) 2 2 ! + ( i z ) 3 3 ! + ( i z ) 4 4 ! + … = ( 1 − z 2 2 ! + z 4 4 ! − … ) + i ( z − z 3 3 ! + z 5 5 ! − … ) = cos z + i sin z , {\displaystyle e^{iz}=1+iz+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+\ldots =\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-\ldots \right)+i\left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-\ldots \right)=\cos z+i\sin z,}
gdzie skorzystaliśmy z tego, że:
jeżeli szeregi ∑ n a n {\displaystyle \sum _{n}a_{n}} oraz ∑ n b n {\displaystyle \sum _{n}b_{n}} są zbieżne, to zbieżny jest również szereg ∑ n ( a n + b n ) , {\displaystyle \sum _{n}(a_{n}+b_{n}),} oraz: ∑ n = 0 ∞ ( a n + b n ) = ∑ n = 0 ∞ a n + ∑ n = 0 ∞ b n , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}+\sum _{n=0}^{\infty }b_{n},} (addytywność); jeżeli szereg ∑ n a n {\displaystyle \sum _{n}a_{n}} jest zbieżny, to również szereg ∑ n c a n {\displaystyle \sum _{n}ca_{n}} jest zbieżny, oraz ∑ n = 0 ∞ c a n = c ∑ n = 0 ∞ a n , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ca_{n}=c\sum _{n=0}^{\infty }a_{n},} gdzie c jest stałą (jednorodność). Powrót do liczb rzeczywistych za pomocą podstawienia z ↦ x ∈ R {\displaystyle z\mapsto x\in \mathbb {R} } daje oryginalną tożsamość opisaną przez Eulera.
Inne uzasadnienie formuły Niech f : R → C {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} } będzie dana przez f ( x ) = cos ( x ) + i sin ( x ) . {\displaystyle f(x)=\cos(x)+i\sin(x).} Wówczas
f ′ ( x ) = i cos ( x ) − sin ( x ) = i ( cos ( x ) + i sin ( x ) ) = i f ( x ) . {\displaystyle f'(x)=i\cos(x)-\sin(x)=i(\cos(x)+i\sin(x))=if(x).} Następnie niech g ( x ) = e − i x f ( x ) . {\displaystyle g(x)=e^{-ix}f(x).} Wtedy
g ′ ( x ) = e − i x ( f ′ ( x ) − i f ( x ) ) = 0 {\displaystyle g'(x)=e^{-ix}(f'(x)-if(x))=0} dla każdego x , {\displaystyle x,} a stąd g {\displaystyle g} jest funkcją stałą . Ponieważ
g ( 0 ) = e − i ⋅ 0 f ( 0 ) = cos ( 0 ) + i sin ( 0 ) = 1 , {\displaystyle g(0)=e^{-i\cdot 0}f(0)=\cos(0)+i\sin(0)=1,} mamy g ( x ) = 1 {\displaystyle g(x)=1} dla wszystkich x . {\displaystyle x.} Stąd też f ( x ) = g ( x ) e i x = e i x , {\displaystyle f(x)=g(x)e^{ix}=e^{ix},} czyli
e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) . {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x).} Przy okazji warto zauważyć, że jest to postać trygonometryczna liczby zespolonej o module jednostkowym.
Trygonometria Wzór Eulera stanowi powiązanie analizy i trygonometrii , dostarczając interpretację funkcji sinus i cosinus jako sum ważonych funkcji wykładniczej . Odpowiednie wzory można wyprowadzić, budując odpowiedni układ równań :
{ e i x = cos x + i sin x e − i x = cos ( − x ) + i sin ( − x ) . {\displaystyle {\begin{cases}e^{ix}=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)\end{cases}}.} Korzystając z własności parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych:
{ e i x = cos x + i sin x e − i x = cos x − i sin x . {\displaystyle {\begin{cases}e^{ix}=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}=\cos x-i\sin x\end{cases}}.} Po dodaniu stronami:
e i x + e − i x = 2 cos x , {\displaystyle e^{ix}+e^{-ix}=2\cos x,} cos x = e i x + e − i x 2 . {\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.} Analogicznie otrzymuje się wzór:
sin x = e i x − e − i x 2 i . {\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.} Wzory te mogą służyć jako definicje funkcji trygonometrycznych dla argumentów zespolonych. Przykładowo podstawienie x = i y {\displaystyle x=iy} daje:
cos ( i y ) = e − y + e y 2 = cosh y , {\displaystyle \cos(iy)={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\cosh y,} sin ( i y ) = e − y − e y 2 i = i sinh y . {\displaystyle \sin(iy)={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}=i\sinh y.} Zastosowanie Tożsamość może zostać wykorzystana jako metoda do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. Wymaga ona co prawda przejścia w rachunkach przez liczby zespolone , ale nie wymaga żadnej wiedzy na ich temat oprócz pamiętania, że i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} i znajomości poniższych trzech wzorów (funkcje tangens i cotangens określa się tak samo jak w przypadku rzeczywistym):
sin x = e i x − e − i x 2 i , {\displaystyle \sin x={\tfrac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},} cos x = e i x + e − i x 2 , {\displaystyle \cos x={\tfrac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},} e i x = cos x + i sin x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.} Najpierw należy przekształcić upraszczany wzór za pomocą dwóch pierwszych wzorów na postać wykładniczą (w przypadku tangensa i cotangensa, rozbijając go na iloraz funkcji sinus i cosinus), następnie wykonać odpowiednie działania tak, jak na zwykłych potęgach liczb rzeczywistych, a na koniec stosując jeden z wzorów Eulera, wrócić do postaci trygonometrycznej wyrażenia.
Przykłady Sinus kąta zwielokrotnionego Dla całkowitych dodatnich n {\displaystyle n} wyrażenia postaci sin n x {\displaystyle \sin nx} dają się wyrazić za pomocą samych wartości sin x {\displaystyle \sin x} i cos x {\displaystyle \cos x} oraz elementarnych działań.
Korzystając z powyższych wzorów:
sin n x = e i n x − e − i n x 2 i = ( e i x ) n − ( e − i x ) n 2 i . {\displaystyle \sin nx={\frac {e^{inx}-e^{-inx}}{2i}}={\frac {(e^{ix})^{n}-(e^{-ix})^{n}}{2i}}.} Ze wzoru Eulera:
sin n x = ( cos x + i sin x ) n − ( cos x − i sin x ) n 2 i . {\displaystyle \sin nx={\frac {(\cos {x}+i\sin {x})^{n}-(\cos {x}-i\sin {x})^{n}}{2i}}.} Z dwumianu Newtona :
sin n x = ∑ k = 0 n ( n k ) ( cos x ) k ( i sin x ) n − k − ( cos x ) k ( − i sin x ) n − k 2 i . {\displaystyle \sin nx=\sum \limits _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {(\cos {x})^{k}(i\sin {x})^{n-k}-(\cos {x})^{k}(-i\sin {x})^{n-k}}{2i}}.} Wyłączając wspólny czynnik:
sin n x = ∑ k = 0 n ( n k ) ( cos x ) k ( sin x ) n − k i n − k − ( − i ) n − k 2 i {\displaystyle \sin nx=\sum \limits _{k=0}^{n}{n \choose k}(\cos {x})^{k}(\sin {x})^{n-k}{\frac {i^{n-k}-(-i)^{n-k}}{2i}}} i stosując wzór Eulera, dostajemy ostatecznie
sin n x = ∑ k = 0 n ( n k ) ( cos x ) k ( sin x ) n − k sin ( n − k ) π 2 {\displaystyle \sin nx=\sum \limits _{k=0}^{n}{n \choose k}(\cos {x})^{k}(\sin {x})^{n-k}\sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}} Kilka pierwszych wielokrotności:
sin 2 x = 2 cos x sin x , {\displaystyle \sin 2x=2\cos x\sin x,} sin 3 x = 3 cos 2 x sin x − sin 3 x , {\displaystyle \sin 3x=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x,} sin 4 x = 4 cos 3 x sin x − 4 cos x sin 3 x , {\displaystyle \sin 4x=4\cos ^{3}x\sin x-4\cos x\sin ^{3}x,} sin 5 x = 5 cos 4 x sin x − 10 cos 2 x sin 3 x + sin 5 x . {\displaystyle \sin 5x=5\cos ^{4}x\sin x-10\cos ^{2}x\sin ^{3}x+\sin ^{5}x.} Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych Sprowadzić do prostszej postaci wyrażenie:
f ( x ) = 8 cos 3 x sin x − 4 cos x sin x . {\displaystyle f(x)=8\cos ^{3}x\sin x-4\cos x\sin x.} Korzystając ze wzorów Eulera na sinus i cosinus:
f ( x ) = 8 ( e i x + e − i x 2 ) 3 e i x − e − i x 2 i − 4 e i x + e − i x 2 ⋅ e i x − e − i x 2 i . {\displaystyle f(x)=8\left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{3}{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}-4{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.} Po wymnożeniu jest:
f ( x ) = ( e 3 i x + 3 e 2 i x e − i x + 3 e i x e − 2 i x + e − 3 i x ) e i x − e − i x 2 i − 2 e 2 i x − 2 e − 2 i x 2 i {\displaystyle f(x)=(e^{3ix}+3e^{2ix}e^{-ix}+3e^{ix}e^{-2ix}+e^{-3ix}){\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}-{\frac {2e^{2ix}-2e^{-2ix}}{2i}}} i dalej:
f ( x ) = e 4 i x + 3 e 2 i x + 3 + e − 2 i x − e 2 i x − 3 − 3 e − 2 i x − e − 4 i x 2 i − 2 e 2 i x − 2 e − 2 i x 2 i , {\displaystyle f(x)={\frac {e^{4ix}+3e^{2ix}+3+e^{-2ix}-e^{2ix}-3-3e^{-2ix}-e^{-4ix}}{2i}}-{\frac {2e^{2ix}-2e^{-2ix}}{2i}},} po skróceniu:
f ( x ) = e 4 i x − e − 4 i x 2 i , {\displaystyle f(x)={\frac {e^{4ix}-e^{-4ix}}{2i}},} dlatego po zastosowaniu pierwszego z podanych wzorów Eulera wyrażenie ma postać:
f ( x ) = sin 4 x . {\displaystyle f(x)=\sin 4x.} Całkowanie funkcji trygonometrycznych przy pomocy wzoru Eulera Obliczyć całkę:
∫ sin 2 x cos 4 x d x . {\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx.} Podstawiając odpowiednie wzory Eulera na sinus i cosinus oraz wymnażając:
∫ sin 2 x cos 4 x d x = ∫ ( e i x − e − i x 2 i ) 2 ( e 4 i x + e − 4 i x 2 ) d x = − 1 8 ∫ ( e 2 i x − 2 + e − 2 i x ) ( e 4 i x + e − 4 i x ) d x = − 1 8 ∫ ( e 6 i x − 2 e 4 i x + e 2 i x + e − 2 i x − 2 e − 4 i x + e − 6 i x ) d x . = − 1 8 ∫ ( ( e 6 i x + e − 6 i x ) − 2 ( e 4 i x + e − 4 i x ) + ( e 2 i x + e − 2 i x ) ) d x . = − 1 8 ∫ ( 2 cos 6 x − 2 ⋅ 2 cos 4 x + 2 cos 2 x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx={}&\int \left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\left({\frac {e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}}\right)dx\\[6pt]={}&-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{2ix}-2+e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)dx\\[6pt]={}&-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{6ix}-2e^{4ix}+e^{2ix}+e^{-2ix}-2e^{-4ix}+e^{-6ix}\right)dx.\\={}&-{\frac {1}{8}}\int \left(\left(e^{6ix}+e^{-6ix}\right)-2\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)+\left(e^{2ix}+e^{-2ix}\right)\right)dx.\\={}&-{\frac {1}{8}}\int \left(2\cos 6x-2\cdot 2\cos 4x+2\cos 2x\right)dx.\end{aligned}}} W tym miejscu wyrażenie można było scałkować, a dopiero potem zwinąć je do wzorów na sinus i cosinus. Obie metody dają to samo rozwiązanie:
∫ sin 2 x cos 4 x d x = − 1 24 sin 6 x + 1 8 sin 4 x − 1 8 sin 2 x + C . {\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx=-{\frac {1}{24}}\sin 6x+{\frac {1}{8}}\sin 4x-{\frac {1}{8}}\sin 2x+C.} Całkowanie funkcji przy pomocy wzoru Eulera i wykorzystanie części rzeczywistej liczby zespolonej Użycie wzoru Eulera pozwala na całkowanie również innych funkcji, w których pojawiają się wzory trygonometryczne, jak na przykład:
∫ e x cos x d x . {\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx.} ponieważ cos x {\displaystyle \cos x} jest częścią rzeczywistą e i x {\displaystyle e^{ix}} możemy zapisać
∫ e x cos x d x = Re ∫ e x e i x d x . {\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx=\operatorname {Re} \int e^{x}e^{ix}\,dx.} Całka po prawej stronie jest łatwa do wyliczenia:
∫ e x e i x d x = ∫ e ( 1 + i ) x d x = e ( 1 + i ) x 1 + i + C . {\displaystyle \int e^{x}e^{ix}\,dx=\int e^{(1+i)x}\,dx={\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}+C.} A zatem:
∫ e x cos x d x = Re { e ( 1 + i ) x 1 + i } + C = e x Re { e i x 1 + i } + C = e x Re { e i x ( 1 − i ) 2 } + C = e x cos x + sin x 2 + C . {\displaystyle {\begin{aligned}\int e^{x}\cos x\,dx={}&\operatorname {Re} \left\{{\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}\right\}+C\\[6pt]={}&e^{x}\operatorname {Re} \left\{{\frac {e^{ix}}{1+i}}\right\}+C\\[6pt]={}&e^{x}\operatorname {Re} \left\{{\frac {e^{ix}(1-i)}{2}}\right\}+C\\[6pt]={}&e^{x}\,{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C.\end{aligned}}} Metody te pomagają przy wyznaczaniu kolejnych współczynników szeregów Fouriera [6] , w których występują całki postaci ∫ − a a f ( x ) sin n x d x {\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\sin nxdx} i ∫ − a a f ( x ) cos n x d x . {\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\cos nxdx.}
Tożsamość Eulera Funkcja wykładnicza e z może być zdefiniowana jako granica ciągu (1+z /N)N , przy N dążącym do nieskończoności. Powyżej kładziemy z=iπ i rozważamy wartości N od 1 do 100. Obliczanie wartości (1+iπ / N)N jest przedstawione jako N-krotne powtórzenie mnożenia na płaszczyźnie zespolonej (gdzie ostatni punkt to wartość (1+iπ / N)N ). Zauważmy, że ze zwiększaniem liczby N, liczba zespolona (1+iπ / N)N zbliża się do −1. Zatem e iπ =-1. W szczególności, podstawiając x = π , {\displaystyle x=\pi ,} otrzymuje się równość:
e π i + 1 = 0 , {\displaystyle e^{\pi i}+1=0,} nazywaną też tożsamością Eulera (czasami wzorem Eulera ).
Nie istnieją żadne znane dokumenty potwierdzające autorstwo Eulera; co więcej, była ona zapewne znana matematykom żyjącym przed nim.
„Najpiękniejszy wzór” Tożsamość Eulera nazywana jest często najpiękniejszym wzorem matematycznym . Wykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne : dodawanie , mnożenie i potęgowanie . Tożsamość łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych :
Dodatkowo każde z powyższych działań oraz każda ze stałych użyte są dokładnie raz , co więcej: wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania , którego prawa strona jest zerem.
Uogólnienie Tożsamość Eulera jest przypadkiem szczególnym ogólniejszej tożsamości, w której pierwiastki z jedynki n {\displaystyle n} -tego stopnia sumują się do 0 {\displaystyle 0} dla n > 1 : {\displaystyle n>1{:}}
∑ k = 0 n − 1 e 2 π i k n = 0. {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi ik}{n}}=0.} Tożsamość Eulera otrzymuje się przez podstawienie n = 2. {\displaystyle n=2.} Powyższą równość można zapisać i w postaci:
∑ k = 0 n e 2 π i k n = 1. {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}e^{\frac {2\pi ik}{n}}=1.} ponieważ: exp ( 2 π i ) = 1. {\displaystyle \exp(2\pi i)=1.}
Zobacz też Przypisy Bibliografia Linki zewnętrzne Grant Sanderson, Euler’s formula with introductory group theory, kanał 3blue1brown , YouTube , 3 marca 2017 [dostęp 2021-03-15]. Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Euler Formula , [w:] MathWorld , Wolfram Research (ang. ) . [dostęp 2023-06-18]. Euler formulas (ang. ) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05]. pojęcia podstawowe płaszczyzna zespolona podstawy układ współrzędnych kartezjańskich układ współrzędnych biegunowych
istotne podzbiory twierdzenia struktury tworzone przez cały zbiórstruktury tworzone przez podzbiory inne pojęcia powiązane działy matematyki badacze według daty narodzinuogólnienia