Twierdzenie Taylora-Proudmana

W mechanice płynów, twierdzenie Taylora-Praudmana^[1] mówi, że przy spełnieniu pewnych warunków (patrz niżej), przepływ w trójwymiarowych układach wirujących redukuje się do przypadku dwuwymiarowego. Owa dwuwymiarowa płaszczyzna jest prostopadła do osi obrotu ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ tzn. gradient pola prędkości przepływu, który jest macierzą, staje się „prostopadły” (tzn. gradient każdej składowej wektora prędkości jest prostopadły) do ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ (czyli iloczyn wektora i macierzy ${\displaystyle \mathbf {\Omega } \cdot \nabla \mathbf {v} =0}$).

Wyprowadzenie

Wychodzimy od równania Naviera-Stokesa (NS) dla układu obracającego się ze stałą prędkością kątową ${\displaystyle \mathbf {\Omega } \in \mathbb {R} ^{3}{:}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} =-{\frac {1}{\varrho }}\nabla p+\nu \nabla \cdot \nabla \mathbf {v} -2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} -\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} )+F,}$

gdzie:

• ${\displaystyle \mathbf {r} \in \mathbb {R} ^{3}}$ – promień (prostopadły do osi obrotu ${\displaystyle \Omega }$),
• ${\displaystyle 2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} }$ – człon związany z siłą Coriolisa,
• ${\displaystyle \mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} )}$ – człon związany z siłą bezwładności,

Założenia

1. ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$ płyn nieściśliwy.
2. ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}=\mathbf {0} }$ przepływ stacjonarny.
3. ${\displaystyle 1\ll |\mathbf {\Omega } |}$ duża prędkość obrotowa, co implikuje że siła Coriolisa jest względnie duża, a więc człon adwekcyjny ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} }$ jest zaniedbywalnie mały (inaczej: liczba Rossbiego jest mała tj.: ${\displaystyle 0\leqslant R_{o}\ll 1}$).
4. ${\displaystyle F=-\nabla \Phi }$ człon związany z siłami masowymi jest polem potencjalnym o potencjale ${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} .}$
5. ${\displaystyle 0\leqslant |\nu \nabla \cdot \nabla \mathbf {v} |\ll 1}$ lepkość jest zaniedbywalnie mała (przepływ nielepki).

Teza

${\displaystyle \mathbf {\Omega } \cdot \nabla \mathbf {v} =0}$

Dowód

Wykorzystując założenia 2, 3, 5, równanie NS upraszcza się do postaci:

${\displaystyle {\frac {1}{\varrho }}\nabla p=F-2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} -\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} ).}$

Zauważmy, że (korzystając z własności iloczynu wektorowego) można przedstawić siłę bezwładności jako gradient pewnego pola skalarnego:

${\displaystyle \mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} )=\mathbf {\Omega } (\mathbf {\Omega } \cdot \mathbf {r} )-\mathbf {r} (\mathbf {\Omega } \cdot \mathbf {\Omega } )=\nabla \left({\frac {1}{2}}(\mathbf {\Omega } \cdot \mathbf {r} )^{2}-|\mathbf {\Omega } |^{2}{\frac {1}{2}}|\mathbf {r} |^{2}\right)=\nabla \left(-{\frac {1}{2}}|\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} |^{2}\right),}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {\Omega } \cdot \mathbf {\Omega } =|\mathbf {\Omega } |^{2},\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}.}$ Zatem człon związany z siłą bezwładności jest pewnym polem potencjalnym.

Jak wiadomo, rotacja z pola potencjalnego jest równa zero, w związku z czym, dokonując rotacji dla obydwu stron równania NS, pozbędziemy się członu ciśnienia, sił masowych(założenie 4) oraz bezwładności – gdyż są to pola potencjalne – i dostaniemy równość:

${\displaystyle \nabla \times (2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} )=0.}$

Dzieląc równanie obustronnie przez 2 i rozpisując lewą stronę równania zgodnie z wzorem na rotację iloczynu wektorowego, otrzymamy:

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {\Omega } -\mathbf {\Omega } \cdot \nabla \mathbf {v} +\mathbf {\Omega } \nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \nabla \cdot \mathbf {\Omega } =0.}$

A ponieważ ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ jest wektorem stałym wiec ${\displaystyle \nabla \mathbf {\Omega } =\mathbf {0} ,\nabla \cdot \mathbf {\Omega } =0.}$ Uwzględniając ponadto założenie 1, po lewej stronie powyższej równości pozostaje tylko:

${\displaystyle \mathbf {\Omega } \cdot \nabla \mathbf {v} =0}$

zatem otrzymaliśmy tezę.

Przypisy