Twierdzenie Hahna-Kołmogorowa – twierdzenie teorii miary umożliwiające skonstruowanie miary przez uprzednie zdefiniowanie przeliczalnie addytywnej funkcji zbiorów (o nieujemnych wartościach rzeczywistych znikającej na zbiorze pustym) na względnie małej algebrze zbiorów, gdzie stosunkowo łatwo jest zapewnić σ-addytywność, a następnie rozszerzenie jej za pomocą tego twierdzenia na potencjalnie dużo większą σ-algebrę; jeżeli funkcja przeliczalnie addytywna jest σ-skończona, to istnieje dokładnie jedno takie rozszerzenie.
Twierdzenia tego jako pierwszy dowiódł Maurice Fréchet[1], jednak nie korzystał on z twierdzenia Carathéodory’ego. Współczesny dowód przedstawili równocześnie Hans Hahn[2] i Andriej Kołmogorow[3]. Z tego powodu w literaturze twierdzenie to opatrywane bywa nazwiskiem Hahna (nie mylić z twierdzeniem Hahna o rozkładzie) lub Hahna-Kołmogorowa. Często nie przypisuje mu się jednak nazwiska i nazywa po prostu twierdzeniem o rozszerzeniu; w związku z tym zdarza się, że bywa ono łączone z twierdzeniem Carathéodory’ego.
Twierdzenie
Niech
będzie algebrą podzbiorów zbioru
oraz niech
będzie σ-addytywną funkcją zbiorów spełniającą warunek
Jeżeli
oznacza najmniejszą σ-algebrę podzbiorów zbioru
która zawiera
to istnieje miara
określona na
o tej własności, że
dla każdego ![{\displaystyle A\in {\mathcal {F}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8daf44f6066da734d390530cee0c79682d21211f)
Jeżeli istnieje taka rodzina przeliczalna
że
![{\displaystyle \bigcup {\mathcal {R}}=X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e738bad104f92c4c325ebd45099dd7abda4c62c3)
oraz
dla każdego ![{\displaystyle A\in {\mathcal {R}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48fcbd9e02b9643e4ca1524cb67856ae6ce9883e)
to rozszerzenie
funkcji
do miary jest wyznaczone jednoznacznie.
Dowód
Dowód podzielony jest na dwie części. W pierwszej wykazuje się istnienie miary zewnętrznej skonstruowanej z przeliczalnie addytywnej funkcji zbiorów, co umożliwia skorzystanie z twierdzenia Carathéodory’ego, a następnie sprawdzenie, iż miara zewnętrzna zawężona do
jest równa
oraz, iż elementy
są mierzalne. Druga część ustanawia jedyność rozszerzenia w przypadku, gdy
jest σ-skończona.
Istnienie
- Miara zewnętrzna i twierdzenie Carathéodory’ego
Funkcja
gdzie
oznacza zbiór potęgowy zbioru
skonstruowana z
jest postaci
![{\displaystyle \mu ^{*}(E):=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})\colon \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathfrak {A}},\;E\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfa824f0d4eaecec832b431d4d0c28a9a5e1fbf0)
i ma wszystkie własności miary zewnętrznej (monotoniczność, przeliczalną podaddytywność i znikanie na zbiorze pustym). Z twierdzenia Carathéodory’ego istnieje przestrzeń mierzalna zupełna
gdzie
![{\displaystyle {\mathfrak {M}}:={\big \{}B\subseteq X\colon \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E\cap B)+\mu ^{*}(E\cap B^{\operatorname {c} })\quad \forall _{E\subseteq X}{\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcda7b947f8231f1d25bb2ff26b8b7894ad6c7f7)
jest σ-algebrą zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory’ego (spełniających warunek Carathéodory’ego), a
zawężeniem
do
- Poprawność rozszerzenia
Niżej zostanie wykazane, że dla dowolnego
należącego do
jest
jest przeliczalnym pokryciem zbioru ![{\displaystyle A{\Bigg \}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5adf9033ab8f0e699981a1cab7560c579ad50b07)
W szczególności dla rodziny
zachodzi
![{\displaystyle \mu ^{*}(A)\leqslant \mu _{0}(A).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb3ff091d17148738ea8f0aa0eafdb16ac47891)
Niech rodzina
podzbiorów
pokrywa zbiór
Nierówność w drugą stronę uzyskuje się rozbijając
w szereg za pomocą rodziny zbiorów rozłącznych związanych z
korzystając z σ-addytywności
skąd łatwo wyprowadzić żądaną tezę. Z każdą rodziną
można związać rodzinę
parami rozłącznych zbiorów taką, że dla dowolnej liczby naturalnej
suma pierwszych
zbiorów
jest równa sumie pierwszych
zbiorów
Wspomnianą rodzinę otrzymuje się oznaczając
Jak już wspomniano, suma wszystkich
zawiera
dlatego
![{\displaystyle \mu _{0}(A)=\mu _{0}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }(A\cap B_{i})\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A\cap B_{i})\leqslant \sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(B_{i})\leqslant \sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4579756872eb8399f0b275d73576c75bc958a3)
gdzie nierówności wynikają z monotoniczności
Ponieważ dotyczy to także
pokrywającej
to
![{\displaystyle \mu _{0}(A)\leqslant \mu ^{*}(A).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe388a7f4e1f2bc3d34481d4a8c3c726e088004)
- Zawieranie
Dowiedzenie, iż
należy do
oznacza wykazanie, iż
![{\displaystyle \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{\operatorname {c} })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f669b503c6af127a8b7c55b674619139ce229b61)
dla dowolnego zbioru
W związku z tym należy przybliżyć
za pomocą rodziny
pokrywającej
którą to właśnie, zamiast
należy rozbić korzystając z addytywności
Dokładniej, dla każdego
istnieje pokrycie
zbioru
takie, że
![{\displaystyle \mu ^{*}(E)+\varepsilon \geqslant \sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i}\cap A)+\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i}\cap A^{\operatorname {c} })\geqslant \mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{\operatorname {c} }),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/135b193907fda1e12a0f9e8d728129f858b73f17)
gdzie równość wynika z zapisania
jako
i skorzystania z addytywności
podczas gdy drugą nierówność uzyskuje się zauważając, że
stanowi pokrycie
podobnie ma się rzecz dla
Z dowolności
wynika, iż
![{\displaystyle \mu ^{*}(E)\geqslant \mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{\operatorname {c} }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86fd09f5814286550f9d8597d08bc1cd93831558)
Nierówność w drugą stronę wynika z podaddytywności
![{\displaystyle \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}{\big (}(E\cap A)\cup (E\cap A^{\operatorname {c} }){\big )}\leqslant \mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{\operatorname {c} }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a22ab11eac75ce4e12ead9fbafe9752172fd5ea)
- Podsumowanie
Wychodząc od
skonstruowano miarę zewnętrzną
która zawężona σ-algebry
staje się miarą
Wykazano, że algebra
zawiera się w
a miara
dla wszystkich elementów
pokrywa się z będącą jej początkiem przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów
Aby zakończyć pierwszą część twierdzenia należy zauważyć, że
jest najmniejszą σ-algebrą zawierającą
zaś
co daje
Zatem nadużywając notacji poprzez dalsze oznaczanie za pomocą
miary określonej na
jej zawężenia do
można powiedzieć, iż
jest poszukiwaną przestrzenią mierzalną.
Należy wspomnieć, iż w ogólności choć
jest zupełna (część twierdzenia Carathéodory’ego), to przestrzeń
nie musi taka być: ważnym przykładem jest, gdy
jest σ-algebrą borelowską na
zaś
to miara Lebesgue’a.
Jedyność
- Niżej zakłada się, że
jest σ-skończona.
Niech
będzie miarą na
będącą rozszerzeniem
podczas gdy
dalej będzie oznaczać miarę, także na
skonstruowaną jak wyżej. Wykazaniu równości tych miar przysłuży się skorzystanie z σ-skończoności, co umożliwi pracę w przestrzeni o mierze skończonej. Niech
będzie rodziną zbiorów miary skończonej o sumie równej
Można założyć, że
są parami rozłączne, gdyż można rozważać rodzinę
daną wzorem
Miary dają tę samą wartość na zbiorze mierzalnym
jeżeli zgadzają się na wszystkich przekrojach
co w tym przypadku oznacza, iż
![{\displaystyle \mu (A)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A\cap A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\nu (A\cap A_{i})=\nu (A).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b65f33621360e6e437befccfd5489d745e7f42)
Wystarczy więc dowieść, że jeśli
jest miary skończonej i
zawiera się w
to
Aby porównać wspomniane miary należy rozważyć rodzinę
stanowiącą pokrycie
wówczas
![{\displaystyle \nu (A)\leqslant \sum _{i=1}^{\infty }\nu (C_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (C_{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54c26ab8cad46627c2fbe74fc883fc9f013618a5)
skąd
gdyż nierówność zachodzi dla dowolnego pokrycia
zbioru
zaś
jest kresem dolnym wyrazów po prawej stronie. Ponadto
Ponieważ
należy do
a jego rozbiciem jest
to
![{\displaystyle \mu (B)=\nu (B)=\nu (B\setminus A)+\nu (A)\leqslant \nu (B\setminus A)+\mu (A)\leqslant \mu (B),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b9123cebdca8598e7c826000baa0d3cdb127da5)
a stąd
![{\displaystyle \nu (B\setminus A)+\nu (A)=\nu (B\setminus A)+\mu (A)\Rightarrow \nu (A)=\mu (A).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5ea23a056a633c2731b7210036888c46958a8b)
- Konieczność założenia σ-skończoności
Jeżeli
nie jest σ-skończona, to rozszerzenie nie musi być wyznaczone jednoznacznie, nawet jeśli jest ono σ-skończone.
Niech
oznacza
zaś
oznacza algebrę wszystkich skończonych sum wymiernych przedziałów domknięto-otwartych zawartych w
Można dowieść, że
jest algebrą, a każdy niepusty zbiór w
jest nieskończony.
Niech
będzie funkcją liczącą
zbiorów określoną na
Funkcja
jest skończenie addytywna i σ-addytywna na
Ponieważ każdy niepusty zbiór należący do
jest nieskończony, jego miara
Niech
będzie σ-algebrą generowaną przez
Można sprawdzić, że
jest zbiorem wszystkich podzbiorów
i obie funkcje
oraz
są σ-skończonymi miarami określonymi na tej σ-algebrze będącymi rozszerzeniami
Przypisy
- ↑ Maurice Fréchet. Sur l’intégrale d’une fonctionnelle étendue à un ensemble abstrait. „Bull. Soc. Math. France”, s. 248–265, 1915. (fr.).
- ↑ Hans Hahn. Über die multiplikation total-additiver mengefunktionen. „Annali Scuola Norm. Sup. Pisa”, s. 429–452, 1933. (niem.).
- ↑ Andriej N. Kołmogorow: Grundbegriffe der Grundbegriffe der wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin: Springer-Verlag, 1933. (niem.). Brak numerów stron w książce
Bibliografia
- Vladimir Bogachev: Measure theory. T. 1. Berlin: Springer, 2006. ISBN 3-540-34513-2. (ang.). Brak numerów stron w książce
- Gerald Folland: Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Nowy Jork: John Wiley & Sons, 1999. ISBN 0-471-31716-0. (ang.). Brak numerów stron w książce
- Serge Lang: Real and Functional Analysis. Nowy Jork: Springer, 1993. ISBN 0-387-94001-4. (ang.). Brak numerów stron w książce