Twierdzenia Mertensa

Twierdzenia Mertensa – twierdzenia dotyczące gęstości liczb pierwszych udowodnione w 1874 przez Franciszka Mertensa.

Sformułowanie

We współczesnej notacji wykorzystującej symbol Landaua twierdzenia Mertensa mogą być zapisane w postaci:

  • ∑ p ⩽ x log ⁡ p p = log ⁡ x + O ( 1 ) . {\displaystyle \sum _{p\leqslant x}{\frac {\log {p}}{p}}=\log {x}+O(1).}
  • ∑ p ⩽ x 1 p = log ⁡ log ⁡ x + M + O ( 1 log ⁡ x ) , {\displaystyle \sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log {\log {x}}+M+O({\frac {1}{\log {x}}}),}

gdzie M {\displaystyle M} jest stałą Meissela-Mertensa.

  • lim x → ∞ log ⁡ x ∏ p ⩽ x ( 1 − 1 p ) = e − γ , {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log {x}\prod _{p\leqslant x}(1-{\frac {1}{p}})=e^{-\gamma },}

gdzie γ {\displaystyle \gamma } jest stałą Eulera-Mascheroniego.

Zmiany znaku

Guy Robin udowodnił w 1983, że funkcje ∑ p ⩽ x 1 p − log ⁡ log ⁡ x − M {\displaystyle \sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}-\log {\log {x}}-M} oraz log ⁡ x ∏ p ⩽ x ( 1 − 1 p ) − e − γ {\displaystyle \log {x}\prod _{p\leqslant x}(1-{\frac {1}{p}})-e^{-\gamma }} (związane z drugim i trzecim twierdzeniem Mertensa) zmieniają znak nieskończenie wiele razy.

Bibliografia

  • F. Mertens, Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie, J. reine angew. Math. 78 (1874), 46-62.
  • G. Robin, Sur l’ordre maximum de la fonction somme des diviseur. Séminaire Delange–Pisot–Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Progress in Mathematics 38 (1983): 233–244.

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Mertens Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-07-02].