Relacja odwrotna

Relacja odwrotna, konwers relacji^[2] – przekształcenie relacji, zwłaszcza dwuargumentowej (binarnej), polegające na zamianie kolejności jej argumentów. Symbolicznie: niech ${\displaystyle R\subset X\times Y.}$ Wtedy relacją odwrotną do ${\displaystyle R}$ nazywa się^[3][4]:

${\displaystyle R^{-1}:=\left\{(y,x)\in Y\times X:\,(x,y)\,\in \,R\right\}.}$

Innymi słowy między dwoma elementami zachodzi relacja odwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy relacja wyjściowa zachodzi dla nich w odwrotnej kolejności^[5][6][1]: ${\displaystyle yR^{-1}x\Leftrightarrow xRy.}$ Inne oznaczenie to ${\displaystyle {\breve {R}}}$^[2].

Odwracanie relacji jest inwolucją^[7]: ${\displaystyle (R^{-1})^{-1}=R.}$ Przykłady relacji wzajemnie odwrotnych to przed i po, nad i pod^[6], przodek i potomek, rodzic i dziecko, przełożony i podwładny, następca i poprzednik, język ojczysty i native speaker, a w matematyce – podzbiór i nadzbiór oraz dzielnik i wielokrotność. Relacja symetryczna jest nadzbiorem swojej odwrotności^[3][7].

Szczególnym przypadkiem odwracania relacji jest odwracanie funkcji^[1].

Własności algebraiczne

Dla zbioru relacji dwuargumentowych z działaniem sumy zbiorów ${\displaystyle ({\mathcal {B}}(X),\cup )}$ odwracanie jest endomorfizmem^[7]:

${\displaystyle (R\cup S)^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}.}$

Podobne własności zachodzą dla przekroju^[7] i różnicy zbiorów^[8]:

${\displaystyle (R\cap S)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1},}$

${\displaystyle (R\setminus S)^{-1}=R^{-1}\setminus S^{-1}.}$

Konwers dopełnienia relacji jest dopełnieniem jej konwersu^[8]:

${\displaystyle (R')^{-1}=(R^{-1})'.}$

Dla złożenia relacji odwracanie jest już antyhomomorfizmem^[7][9]:

${\displaystyle (S\circ R)^{-1}=R^{-1}\circ S^{-1}.}$

Relacja odwrotna nie jest jednak elementem odwrotnym w półgrupie relacji binarnych; w ogólności ${\displaystyle R^{-1}\circ R\neq {\text{id}}.}$ Inkluzja zachodzi tylko dla funkcji częściowych (relacji funkcyjnych), a równość – dla bijekcji^[3][10].

Przypisy

Bibliografia

• Andrzej Grzegorczyk: Zarys logiki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969.
• Antoni Smoluk: Algebra liniowa. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-635-0.
• Barbara Stanosz: Ćwiczenia z logiki. Warszawa: PWN, 2012. ISBN 978-83-01-14428-9.
• Dariusz Wrzosek: Matematyka dla biologów. Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2016. ISBN 978-83-235-0460-3.