Przybliżenie Padégo

Ten artykuł od 2010-08 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł. Należy dodać przypisy do treści niemających odnośników do źródeł. Dodanie listy źródeł bibliograficznych jest problematyczne, ponieważ nie wiadomo, które treści one uźródławiają. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Przybliżenie Padégo – metoda aproksymacji funkcji za pomocą funkcji wymiernych danego rzędu. Często daje lepszy wynik niż szereg Taylora dla tej samej liczby współczynników, kiedy funkcja posiada bieguny.

Jej odkrywcą jest Henri Padé.

Definicja

Dla danej funkcji ${\displaystyle f}$ i dwóch liczb naturalnych ${\displaystyle m,n\in N_{0},}$ przybliżeniem Padégo rzędu ${\displaystyle (m,n)}$ jest funkcja wymierna

${\displaystyle R_{m,n}(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots +b_{n}x^{n}}},}$

której pochodne równają się pochodnym ${\displaystyle f(x)}$ do najwyższego możliwego rzędu

${\displaystyle f(0)=R(0)}$

${\displaystyle f'(0)=R'(0)}$

${\displaystyle f''(0)=R''(0)}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle f^{(m+n)}(0)=R^{(m+n)}(0).}$

Ściślej i ogólniej funkcja wymierna ${\displaystyle \rho }$ jest przybliżeniem Padégo rzędu ${\displaystyle (k,n-k)}$ formalnego szeregu potęgowego ${\displaystyle g}$ nad ciałem ${\displaystyle F,}$ jeżeli^[1]:

${\displaystyle g=\sum _{i\in \mathbb {N} _{0}}g_{i}x^{i}\in F[[x]]}$ ${\displaystyle (g_{i}\in F)}$

${\displaystyle \rho ={\frac {r}{t}}}$

${\displaystyle r,t\in F[x]}$

${\displaystyle x\nmid t}$

${\displaystyle {\frac {r}{t}}\equiv g\mod x^{n}}$ (równoważnie ${\displaystyle r\equiv tg\mod x^{n}}$)

${\displaystyle \deg r<k}$

${\displaystyle \deg r\leqslant n-k}$

Obliczanie

Jeżeli rozwinięcie funkcji ${\displaystyle f(x)}$ w szereg Taylora ma postać

${\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\dots ,}$

to współczynniki w przybliżeniu Padégo spełniają układ równań

${\displaystyle a_{i}=\sum _{j=0}^{i}b_{j}\cdot c_{i-j}\ {}}$ dla ${\displaystyle {}\ i=0,1,...,m+n.}$

Przy czym przyjmuje się, że

${\displaystyle b_{0}=1,}$

${\displaystyle a_{i}=0\ {}}$ dla ${\displaystyle {}\ i>m,}$

${\displaystyle b_{i}=0\ {}}$ dla ${\displaystyle {}\ i>n.}$

Przykład

Należy wyliczyć wielomian ${\displaystyle R_{2,1}(x)}$ przybliżający ${\displaystyle e^{x}}$ w punkcie 0. Mamy ${\displaystyle m=2,}$ ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle m+n=3.}$ Z szeregu Taylora, który dla punktu 0 staje się szeregiem Maclaurina mamy

${\displaystyle c_{0}=1,c_{1}=1,c_{2}={\frac {1}{2}},c_{3}={\frac {1}{6}}}$ ogólnie dla ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n!}}}$

Układamy układ równań:

pierwsza część

${\displaystyle 1\cdot b_{0}=a_{0}}$

${\displaystyle 1\cdot b_{0}+1\cdot b_{1}=a_{1}}$

${\displaystyle 1/2b_{0}+1b_{1}=a_{2}}$

druga część

${\displaystyle 1/6b_{0}+1/2b_{1}=0}$

oraz

${\displaystyle b_{0}=1}$

Wpisujemy do macierzy najpierw pierwsze ${\displaystyle m}$ niewiadomych, a potem drugie ${\displaystyle n,}$ otrzymując macierz: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0&0&1&0\\0&-1&0&1&1\\0&0&-1&1/2&1\\0&0&0&1/6&1/2\\0&0&0&1&0\end{bmatrix}}}$

oraz wektor wyrazów wolnych składający się z samych zer z wyjątkiem ostatniej jedynki. Następnie wyliczamy posługując się na przykład metodą eliminacji Gaussa, otrzymujemy ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2/3&1/6&1&-1/3\end{bmatrix}},}$ co daje ${\displaystyle {\frac {1+2/3x+1/6x^{2}}{1-1/3x}},}$

co jest zgodne z przykładami Wolframu^[2]  z dokładnością do mnożnika licznika i mianownika.

Wypełnianie macierzy

Niech N=m+n+2 będzie rozmiarem macierzy A z normalnym indeksem liczonym od 1 do N.

Czyścimy macierz inicjując ją zerami;
        for (int i = 0; i <= m; i++)
        {
                for (int j = 0; j <= i; j++)
                {
                        if (j<=n)
                                A[i+1, m+j+2] = c[i – j];
                }
                A[i+1, i+1] = -1;
        }
        for (int i = 0; i<= n – 1; i++)
                for (int j = 0; j <= n; j++)
                        A[m + i + 2, m + j + 2]  = c[m + n – i – j];
        ; końcowe b0 = 1
        A[m + n + 2, m + 2] = 1;

Przypisy

Bibliografia

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Padé Approximant, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• A Short Introduction to Padé Approximants. archimede.mat.ulaval.ca. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-07-06)]., Jerome Soucy Université Laval

Linki zewnętrzne

• Module for Padé Approximation by John H. Mathews (ang.)
• Padé Approximants (ang.) by Oleksandr Pavlyk, The Wolfram Demonstrations Project.