Postać Frobeniusa

Ten artykuł należy dopracować: koślawe połączenie dwóch artykułów – poprzedniego i twierdzenia frobeniusa o klasyfikacji macierzy nad pierścieniem wielomianów (w słabej formie). Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Postać kanoniczna Frobeniusa macierzy ${\displaystyle m\times m,}$ nazywana w skrócie macierzą Frobeniusa (od nazwiska Ferdinanda Frobeniusa) – jedna z postaci kanonicznych normalnych macierzy kwadratowej. Definiuje się ją następująco^[1]:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0&0&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\0&0&0&1&\cdots &0&0\\0&0&0&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&-c_{3}&\cdots &-c_{m-2}&-c_{m-1}\end{pmatrix}}}$

Przykłady:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\17&-5\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\17&-5&0\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\17&-5&0&4\\\end{pmatrix}}}$

Klasyfikacja

Zachodzi następujące twierdzenie Frobeniusa o klasyfikacji macierzy nad pierścieniem wielomianów, nazywane także lematem Frobeniusa:

Jeśli ${\displaystyle K}$ jest ciałem, a ${\displaystyle K[X]}$ jest pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad nim, to każda macierz nad pierścieniem ${\displaystyle K[X]}$ jest równoważna z dokładnie jedną macierzą kanoniczną Frobeniusa, to znaczy taką, która ma jedyne niezerowe elementy ${\displaystyle d_{i}}$ na miejscach ${\displaystyle (i,i),}$ przy czym niezerowe wielomiany ${\displaystyle d_{i}}$ są unormowane i wszystkie wielomiany ${\displaystyle d_{i}}$ spełniają warunek ${\displaystyle d_{i}|d_{i+1}.}$

Twierdzenie (z wyjątkiem jednoznaczności) zachodzi dla macierzy nad dowolnym pierścieniem ideałów głównych, nad pierścieniem euklidesowym jest szybki algorytm znajdowania postaci kanonicznej Frobeniusa. Dla macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ odpowiednia postać kanoniczna (z nieujemnymi elementami „diagonalnymi” ${\displaystyle d_{i}}$ dla jednoznaczności) nazywana jest postacią kanoniczną Smitha.

Elementy „diagonalne” ${\displaystyle d_{i}}$ nazywane są czynnikami niezmienniczymi macierzy. Dwie macierze tych samych rozmiarów nad pierścieniem ideałów głównych są równoważne, gdy ich czynniki niezmiennicze są stowarzyszone.

Jeśli ${\displaystyle D_{i}}$ jest największym wspólnym dzielnikiem minorów stopnia ${\displaystyle i}$ macierzy, to czynniki niezmiennicze tej macierzy wyrażają się wzorami:

${\displaystyle d_{1}=D_{1},}$ ${\displaystyle d_{i+1}=D_{i+1}|D_{i}.}$

Zobacz też

• postać kanoniczna Jordana

Przypisy