Pierścień zbiorów

Pierścień zbiorów – niepusta rodzina zbiorów zamknięta ze względu na przecięcia i różnicę symetryczną, tzn. jeżeli dla dowolnego ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$ zachodzi

• ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {R}},}$
• ${\displaystyle A\triangle B\in {\mathcal {R}},}$

gdzie ${\displaystyle \triangle }$ oznacza różnicę symetryczną, tj.

${\displaystyle A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).}$

Równoważnie można wymagać, aby z każdymi dwoma zbiorami ${\displaystyle A,B}$ należącymi do pierścienia należały także do niego zbiory ${\displaystyle A\cup B}$ oraz ${\displaystyle A\setminus B.}$

Własności

Pierścień zbiorów jest pierścieniem w algebraicznym tego słowa znaczeniu (możliwe, że bez jedynki). Przekrój jest rozdzielny względem różnicy symetrycznej:

${\displaystyle A\cap (B\triangle C)=(A\cap B)\triangle (A\cap C)}$

Zbiór pusty jest elementem neutralnym ${\displaystyle \triangle ,}$ a suma wszystkich zbiorów, o ile należy do pierścienia, jest elementem neutralnym ${\displaystyle \cap ,}$ co czyni z ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ pierścień z jedynką.

Dla danego zbioru ${\displaystyle X}$ jego zbiór potęgowy tworzy dyskretny pierścień zbiorów, zaś zbiór ${\displaystyle \{\varnothing ,X\}}$ określa antydyskretny pierścień zbiorów. Dowolne ciało zbiorów, a zatem dowolna σ-algebra jest również pierścieniem zbiorów.

Zobacz też

• σ-pierścień