Granica jednostronna

Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Jeżeli granice lewo- i prawostronna istnieją i są sobie równe, to są one granicą obustronną; twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe: jeżeli istnieje granica obustronna to obie granice jednostronne istnieją i są jej równe (o ile punkt, w którym obliczamy granice jest odpowiednio lewostronnym lub prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji).

Definicje

Liczba ${\displaystyle g}$ jest granicą lewostronną (odpowiednio: prawostronną) funkcji ${\displaystyle f}$ w lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) punkcie skupienia ${\displaystyle x_{0}}$ dziedziny, co zapisuje się

${\displaystyle f(x)\to g}$ przy ${\displaystyle x\to x_{0}^{-}}$ (odpowiednio: ${\displaystyle f(x)\to g}$ przy ${\displaystyle x\to x_{0}^{+}}$)

lub

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}~f(x)=g}$ (odpowiednio: ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}~f(x)=g}$),

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu ${\displaystyle (x_{n})}$ takiego, że dla dowolnego ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \ x_{n}\in A,\ x_{n}<x_{0}}$ (odpowiednio: ${\displaystyle x_{n}>x_{0}}$)   oraz ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }~x_{n}=x_{0},}$ ciąg wartości funkcji ${\displaystyle (f(x_{n}))}$ dąży do ${\displaystyle g}$ przy ${\displaystyle n\to \infty ;}$

definicja Cauchy’ego

${\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(x_{0}-\delta <x<x_{0}\implies |f(x)-g|<\varepsilon )}$ (odpowiednio: ${\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(x_{0}<x<x_{0}+\delta \implies |f(x)-g|<\varepsilon )}$).

Jeśli w punkcie x₀ funkcja f ma nieskończoną granicę jednostronną, to prosta x = x₀ nazywa się asymptotą pionową funkcji f^[1].

Przypisy