-forma różniczkowa, albo krótko:
-forma – bardzo głębokie uogólnienie różniczki funkcji postaci
Formy różniczkowe można zdefiniować na wiele sposobów np. jako kowariantne antysymetryczne pola tensorowe.
Formy różniczkowe można zdefiniować na zbiorach otwartych w
i, ogólniej, na rozmaitościach różniczkowych. Na zbiorze otwartym w
dowolną
-formę można przedstawić jednoznacznie w postaci
![{\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0770fb8975a664c925b4829e1d8d9afb7af3b9d)
gdzie
to pochodna rzutowania na
-tą współrzędną względem bazy standardowej w
tzn. funkcji
danej wzorem
![{\displaystyle \pi ^{i}(x_{1},\dots ,x_{n}):=x_{i},\quad 1\leqslant i\leqslant n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ebe26e7e37337cba3ce4230cee6d84a6514853)
to iloczyn zewnętrzny, a
to pewne funkcje rzeczywiste.
-formę na rozmaitości
można przedstawić w ten sposób lokalnie, tzn. w dziedzinie pewnej mapy
w otoczeniu pewnego (dowolnego, ale ustalonego) punktu
Wówczas
w powyższym wzorze są współrzędnymi
wyznaczonymi przez mapę
a
oznacza ich odwzorowanie styczne, czyli uogólnienie pochodnej funkcji wektorowej na przypadek funkcji pomiędzy rozmaitościami.
Formy różniczkowe odgrywają fundamentalną rolę we współczesnej fizyce, gdyż są jedynymi polami tensorowymi, które można całkować. Wynika to z ich własności transformacyjnych przy zmianie układu współrzędnych dzięki czemu całka z formy różniczkowej nie zależy od wybranego układu współrzędnych. W szczególności rachunek form różniczkowych jest często wykorzystywany do całkowania pracy, strumieni pola (magnetycznego, grawitacyjnego itp.) przechodzących przez powierzchnię, potencjałów pól itp. Pojęcie formy różniczkowej formalizuje te operacje z matematycznego punktu widzenia.
Formy różniczkowe różnią się od pozostałych pól tensorowych także tym, że można zdefiniować ich różniczkowanie bez potrzeby wprowadzania koneksji na rozmaitości. Jest to tzw. pochodna zewnętrzna formy różniczkowej.
Formy różniczkowe na zbiorach otwartych w Rn
Definicja
Niech
będzie zbiorem otwartym. Przestrzenią styczną do
w punkcie
nazwiemy
Oczywiście
ma strukturę przestrzeni liniowej dla każdego
Niech
oznacza przestrzeń liniową form antysymetrycznych na
Formą różniczkową na
nazwiemy funkcję
taką, że
dla każdego
[1]. Zbiór
-form różniczkowych na
oznaczamy
Uwagi
(1) Innymi słowy forma różniczkowa na zbiorze otwartym to funkcja, która punktom zbioru otwartego przyporządkowuje formy antysymetryczne na
(2) Definicja
może się wydawać przerostem formy nad treścią, ale pozwala na bardzo daleko idące uogólnienia.
(3) Funkcje rzeczywiste klasy
na
utożsamia się z
-formami kładąc
Struktura modułu
W
można wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej nad
definiując działania punktowo
![{\displaystyle (\omega +\eta )(x):=\omega (x)+\eta (x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c62a0e3312dc984003927f585e472e5fd7fc24a)
![{\displaystyle (c\omega )(x):=c\cdot \omega (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63fcf46619294016ff963e70c006f4c9c9a35001)
dla
jednakże w praktyce znacznie ważniejsza jest struktura modułu nad
czyli nad pierścieniem funkcji klasy
na
w którym funkcje
zastępują
w powyższej definicji, tzn. drugą równość należy zastąpić równością
![{\displaystyle (f\cdot \omega )(x):=f(x)\cdot \omega (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6165b13077628d3f2b96e01db8d3112527f535ab)
Moduł nad pierścieniem tym się różni od przestrzeni liniowej nad ciałem, że ten pierwszy nie musi mieć bazy. Jeżeli ma bazę, to nazywa się go modułem wolnym.
Iloczyn zewnętrzny form różniczkowych
Zobacz też: Forma wieloliniowa.
Z definicji formy różniczkowej wynika, że
dla
jest już
-tensorem antysymetryczną na
To oznacza, że iloczyn zewnętrzny tensorów antysymetrycznych
indukuje odwzorowanie
dane wzorem
![{\displaystyle (\omega \wedge \eta )(x):=\omega (x)\wedge \eta (x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2147028274592815d373488249dfe779649c77c1)
które oznaczamy tym samym symbolem i nazywamy iloczynem zewnętrznym form różniczkowych, albo krótko: iloczynem zewnętrznym.
Różniczka funkcji
Niech
będzie zbiorem otwartym, a
– funkcją różniczkowalną. Różniczka funkcji w punkcie
to przekształcenie liniowe
czyli
-tensor na
Funkcja różniczkowalna
indukuje odwzorowanie
z
w przestrzeń liniową jednotensorów na
dane wzorem
![{\displaystyle x\mapsto df(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da119f3b80a01ca9ac0e2b8c92138e0f6f2bfabf)
które nazywamy różniczką funkcji. Różniczka funkcji spełnia definicję
-formy różniczkowej na
Możemy ją zapisać
![{\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx^{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b0b9c95700f553479853d10f9502b1ccfa10d2)
gdzie
oznacza różniczkę rzutowania na
-tą współrzędną względem bazy standardowej
tzn. funkcji
danej wzorem
![{\displaystyle \pi ^{i}(x_{1},\dots ,x_{n}):=x_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e875ad835beef7d0b52767c159d0df775645e138)
Postać kanoniczna formy różniczkowej
Zobacz też: Forma wieloliniowa.
Niech
Ponieważ dla
jest
-tensorem na
dla każdego
to natychmiast wynika z tego, że
możemy zapisać w postaci
![{\displaystyle \omega (x)=\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1},\dots ,i_{k}}e^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge e^{i_{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec14d8de4a2f0cf930dbeed74e3f87498f1435d)
gdzie
są pewnymi skalarami, a
oznacza bazę dualną do bazy
w
tzn. zdefiniowaną wzorami
![{\displaystyle e^{i}(v)=e^{i}\left(\sum _{j=1}v_{j}e_{j}\right):=v_{j},\quad i=1,\dots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bafb050203f83472bd7643fc0fa4d5f86431e92)
Okazuje się, że różniczki
wzięte w dowolnym punkcie
są bazą dualną do bazy standardowej
ponieważ
![{\displaystyle dx^{i}(a)(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})=v_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6fdce7ab1d223139b12acaa189717dc4cd31b7c)
dla dowolnego
i
To oznacza, że dowolną
-formę
możemy jednoznacznie przedstawić w postaci
![{\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0770fb8975a664c925b4829e1d8d9afb7af3b9d)
gdzie
są pewnymi funkcjami rzeczywistymi. Tę postać formy różniczkowej nazywamy postacią kanoniczną. Formę
z definicji nazywamy ciągłą, klasy
lub klasy
gdy funkcje
są odpowiednio ciągłe, klasy
lub klasy
Cofnięcie formy różniczkowej
Bardzo ważną operacją na formach różniczkowych jest tzw. cofnięcie formy. Niech
będą zbiorami otwartymi. Funkcja różniczkowalna
indukuje odwzorowanie
dane wzorem
![{\displaystyle f^{*}\omega (x)(w_{1},\dots ,w_{k}):=\omega (f(x))(df(x)(w_{1}),\dots ,df(x)(w_{k})),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b6239178d59d70044955a3509e0cc3748b9005)
dla
i
Jeżeli
jest
-formą, czyli zwykłą funkcją to definiujemy
![{\displaystyle f^{*}\omega :=\omega \circ f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a7cd53a86e3034f27f582b430b94cd73216556)
Odwzorowanie to nazywamy cofnięciem formy przez
.
jest już
-formą na
Cofnięcie formy różniczkowej jest odpowiednikiem cofania tensorów.
Formy różniczkowe na rozmaitościach w Rn
Definicja
Niech
będzie
-wymiarową rozmaitością różniczkową (zanurzoną w
). Wybierzmy mapę
w otoczeniu punktu
z parametryzacją
Przestrzenią styczną
do
w punkcie
nazywamy obraz
przez pochodną parametryzacji
gdzie
-formą różniczkową na
nazwiemy funkcję
taką, że
dla każdego
[1]. Zbiór
-form różniczkowych na
oznaczamy
Uwagi
(1) Definicja formy różniczkowej na rozmaitości jest zupełnie analogiczna do definicji formy różniczkowej na zbiorze otwartym w
Różnica polega na tym, że inaczej jest zdefiniowana przestrzeń styczna
(2) Przestrzeń styczna
do
-wymiarowej rozmaitości różniczkowej
w
jest
-wymiarową podprzestrzenią liniową
Wynika to z definicji rozmaitości różniczkowej w
(3) W szczególnym przypadku, gdy rozmaitość różniczkowa
jest zbiorem otwartym w
to za układ współrzędnych
możemy wybrać identyczność na
tzn.
dane wzorem
![{\displaystyle \mathrm {id} _{M}(p):=p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89632761edbdd07b8d5302a51dc90d16d2dc1eb0)
Wówczas parametryzacja
jest identycznością na
i mamy
![{\displaystyle d\varphi ^{-1}(x)=d\mathrm {id} _{\varphi (M)}(x)=\mathrm {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3f2285f13d0585048a603e9d4e8670c0666c2fe)
dla każdego
Zatem
![{\displaystyle T_{p}M=\mathrm {id} _{\mathbb {R} ^{n}}(a)(\mathbb {R} ^{n})=\mathbb {R} ^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05012ff3548f2fd7443e397ea8d125d86a2dcd42)
czyli powracamy do poprzedniej definicji przestrzeni stycznej.
(4) Mapa
na
-wymiarowej rozmaitości
w otoczeniu punktu
indukuje bazę przestrzeni stycznej daną wzorami
![{\displaystyle \partial _{i}:=d\varphi ^{-1}(a)(e_{i}),\ i=1,\dots ,m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dddbe3310ee6b17cec57c61003234ae79cc4fbf)
gdzie
to baza standardowa
którą nazywamy bazą naturalną dla mapy
, albo bazą wyznaczoną przez mapę
. Wektory tej bazy oznacza się też symbolami
(5) Formę różniczkową
na rozmaitości nazywa się z definicji klasy
lub klasy
jeżeli forma cofnięta przez parametryzację
jest klasy
lub klasy
Struktura modułu
W zbiorze form różniczkowych na rozmaitości
wprowadza się strukturę modułu dokładnie w ten sam sposób w jaki się ją wprowadza w zbiorze form różniczkowych na zbiorze otwartym:
![{\displaystyle (\omega +\eta )(p):=\omega (p)+\eta (p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a7cbe2bdf44be8527eb5381e8d66d43e6c9ba7)
![{\displaystyle (f\cdot \omega )(p):=f(p)\cdot \omega (p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f28aa494e646c99d5d39cecb0c21ed5fbe5410)
dla
i funkcji
Odwzorowanie styczne
Niech
będą rozmaitościami różniczkowymi. Rozpatrzmy funkcję
Aby móc zapisać formę różniczkową na rozmaitości w postaci kanonicznej trzeba zdefiniować pochodną takiej funkcji. Gdyby
były zwykłymi, dowolnymi zbiorami, to niemożliwe byłoby różniczkowanie
nawet pomimo że
to podzbiory
ponieważ pochodna jest zawsze zdefiniowana dla funkcji zdefiniowanej na zbiorze otwartym. Jednakże, ponieważ
są rozmaitościami różniczkowymi i mają dodatkową strukturę, to można uogólnić pojęcie pochodnej funkcji
na przypadek funkcji pomiędzy rozmaitościami.
Definicja
Niech
będą
i
-wymiarowymi rozmaitościami różniczkowymi, a
– mapami na nich. Powiemy, że funkcja
jest różniczkowalna klasy
jeżeli
jest różniczkowalne klasy
Odwzorowaniem stycznym funkcji
w punkcie
nazywamy odwzorowanie
dane wzorem
![{\displaystyle T_{p}f(v):=d\varphi _{2}^{-1}(\varphi _{2}(f(p)))\circ d(\varphi _{2}\circ f\circ \varphi _{1}^{-1})(\varphi _{1}(p))(w),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f1b07d1e61761be43bec89fe059cb1f11f36687)
gdzie
jest takim wektorem, że
![{\displaystyle d\varphi _{1}^{-1}(\varphi _{1}(p))(w)=v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5e94b9544e2ff6efc29a8f9df154ba0599864d)
Uwagi
(1) Odwzorowanie styczne funkcji
w punkcie
nazywa się też pochodną funkcji
w punkcie
albo różniczką funkcji
w punkcie
i oznacza
lub podobnie.
(2)
jest już funkcją z
w
może więc być różniczkowane w zwykły sposób.
(3)
jest wektorem w
Przekształcenie liniowe
przenosi ten wektor w
(4) W szczególnym przypadku gdy
są zbiorami otwartymi, to posługując się mapami
powracamy do zwykłej definicji pochodnej.
(5) Odwzorowanie styczne spełnia regułę łańcuchową. Jeżeli
jest różniczkowalne w punkcie
a
jest różniczkowalne w punkcie
to różniczkowalne jest złożenie
i
![{\displaystyle T_{p}(g\circ f)=T_{f(p)}g\circ T_{p}f..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861f1670e1d0c0b8abacc1d2c1c43ae6bbf56bd4)
(6) Jeżeli
jest różniczkowalne, to licząc odwzorowanie styczne dostajemy
![{\displaystyle T_{p}f(v)=T_{p}f\left(\sum _{j=1}^{k}v_{j}\partial _{j}\right)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x_{i}}}(\varphi (p))v_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e611b814d696a408582022eded46e1e42e5ed373)
(7) W szczególności dla współrzędnych wyznaczonych przez mapę
dostajemy
![{\displaystyle T_{p}x^{i}(v)=T_{p}x^{i}\left(\sum _{j=1}^{k}v_{j}\partial _{j}\right)=v_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ffe7f2a88ab9fd22b997860c81a19857ddce14d)
Wynika z tego, że odwzorowania styczne
stanowią bazę dualną do bazy naturalnej dla mapy
W bazie tej możemy odwzorowanie styczne funkcji
zapisać
![{\displaystyle T_{p}f=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x_{i}}}(\varphi (p))T_{p}x^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c2ebcfda5144ddbfaa8dc8ac5dddab0d8ce199)
(8) W dalszym ciągu będziemy powyższy wzór zapisywać w postaci
![{\displaystyle df(p)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x_{i}}}(\varphi (p))dx^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9122a1f9ab24d6ff40a32f69791f9a4f9ed5abd7)
(dla uproszczenia piszemy
zamiast
). Pozwala to nadać wielu wzorom klasyczną postać.
Przedstawienie we współrzędnych lokalnych
-formę na
-wymiarowej rozmaitości różniczkowej
można lokalnie, tzn. w dziedzinie mapy
przedstawić we współrzędnych
wyznaczonych przez tę mapę w postaci
![{\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5437b164ca759c457c3424bb34218b491b1ec5)
Ściślej rzecz biorąc po lewej stronie równości powinna stać forma różniczkowa obcięta do
tj.
ponieważ po prawej stronie równości stoją formy różniczkowe zdefiniowane na
Różniczkowanie form różniczkowych
Pochodna zewnętrzna form na zbiorze otwartym
Rozpatrzmy
-formy na zbiorze otwartym
Pochodną zewnętrzną nazywamy odwzorowanie
zdefiniowane w następujący sposób:
(1) Jeżeli
jest
-formą to jej pochodną zewnętrzną nazwiemy jej różniczkę
(2) Dla formy różniczkowej w postaci kanonicznej
dla
definiujemy
![{\displaystyle d\omega :=\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}df_{i_{1},\dots ,i_{k}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/446398b71be5fe36d9e1b8b0c02f348601cdd747)
Pochodną zewnętrzną nazywa się także różniczką zewnętrzną. Pochodna zewnętrzna jest innym niż forma różniczkowa dalekim uogólnieniem różniczki funkcji.
Pochodna zewnętrzna form na rozmaitości
Rozpatrzmy formy różniczkowe zdefiniowane w dziedzinie
pewnej mapy
na rozmaitości różniczkowej
Dla
-form zdefiniowanych na
definiujemy odwzorowanie
w następujący sposób:
(1) Jeżeli
jest
-formą, to jako
definiujemy różniczkę funkcji
(2) Dla
która ma we współrzędnych lokalnych
przedstawienie
odwzorowanie
definiujemy wzorem
![{\displaystyle d_{U}\omega :=\sum _{1\leqslant i_{1}<\ldots <i_{k}\leqslant n}df_{i_{1},\dots ,i_{k}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a9c3c9d68922d9de69a0f6b257366f4ca384a4)
W dalszym ciągu rozpatrzmy formy różniczkowe zdefiniowane na rozmaitości różniczkowej
Pochodną zewnętrzną
definiujemy wzorem
![{\displaystyle d\omega (p):=d_{U}\omega (p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76dbf7e4f3e6b4383831d7e392f26790510c5ea8)
gdzie
jest dziedziną mapy
w otoczeniu punktu
Uwagi
(1) Liczenie pochodnej zewnętrznej sprowadza się w praktyce do liczenia
we współrzędnych lokalnych.
(2) W przypadku zbiorów otwartych
(w szczególności całego
) mamy pewien wyróżniony układ współrzędnych – układ współrzędnych kartezjańskich, który można zdefiniować jako identyczność
na
(mówiąc ściślej: jako identyczność
na
). Rzutowania
można uważać za współrzędne kartezjańskie, ponieważ
![{\displaystyle \pi ^{i}=\pi ^{i}\circ \mathrm {id} _{\mathbb {R} ^{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b858f6fd6a2ac224967db9ef30b446680ca941a)
Można by zatem argumentować, że pochodną zewnętrzną formy na zbiorze otwartym
wystarczy zdefiniować w tych wyróżnionych współrzędnych. Jednakże w przypadku form różniczkowych na ogólnej rozmaitości
nie mamy żadnych wyróżnionych współrzędnych. W otoczeniu punktu
możemy wybrać dwie dowolne mapy
i
(takie, że
) i mamy dwa zestawy współrzędnych lokalnych:
i
Pochodną
możemy policzyć zarówno we współrzędnych
jak i
Aby pochodna zewnętrzna miała sens, policzona i w jednych i w drugich współrzędnych, musi być równa, czyli po policzeniu pochodnej we współrzędnych
i przejściu do współrzędnych
musimy dostać pochodną policzoną we współrzędnych
Okazuje się, że tak jest w istocie – pochodna zewnętrzna nie zależy od wyboru współrzędnych lokalnych.
Formy dokładne i zamknięte
Formę różniczkową
którą można przedstawić w postaci
dla pewnej formy różniczkowej
nazywa się dokładną lub zupełną. Formę różniczkową
której pochodna zewnętrzna znika, tzn.
nazywa się zamkniętą. Licząc
dla dowolnej formy różniczkowej
dostaje się
![{\displaystyle d(d\omega )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01ad857d6e47416334dd5ca87ab271105ac5e16)
o ile forma różniczkowa jest klasy co najmniej
Wynika to z twierdzenia Schwarza. Wynika stąd, że każda forma dokładna jest zamknięta. Odwrotna implikacja nie jest prawdziwa, jednakże jak wynika z lematu Poincarego formy zamknięte są dokładne na zbiorach otwartych i gwiaździstych.
Całkowanie form różniczkowych
Konstrukcja całki
Całkę z formy różniczkowej po rozmaitości definiuje się w następujących krokach[2].
(1) Niech
będzie formą różniczkową na zbiorze otartym w
w
Jej całkę po
definiujemy jako całkę Lebesgue’a z
po
![{\displaystyle \int _{U}\omega =\int _{U}fdx^{1}\wedge \ldots \wedge dx^{n}:=\int _{U}fd\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb36822248d8e2ec5bdb0fd3c59db27a09aa57d)
(2) Jeżeli
jest formą różniczkową o nośniku zwartym i zawartym w dziedzinie pewnej mapy
to definiujemy
![{\displaystyle \int _{U}\omega :=\int _{\varphi (U)}(\varphi ^{-1})^{*}\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b974f2457930352019e1d53322408fab19ab0ae0)
gdzie
oznacza
cofniętą przez parametryzację
jest już formą różniczkową na zbiorze otwartym w
(3) Niech
będzie formą różniczkową o zwartym nośniku na zwartej zorientowanej rozmaitości różniczkowej
Z charakteryzacji zbiorów zwartych w przestrzeniach metrycznych możemy znaleźć atlas skończony
zgodny z orientacją
Z twierdzenia o gładkim rozkładzie jedynki znajdujemy rodzinę funkcji
takich, że
ma nośnik zwarty i zawarty w
oraz
![{\displaystyle 0\leqslant \lambda _{i}(p)\leqslant 1,\quad i\quad \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}(p)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca7f431d479cb1d551974feec47f81e12eb37d9d)
dla każdego
Definiujemy
![{\displaystyle \omega _{i}:=\lambda _{i}\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8528c5bebb78fc864dbdab6c55ba1a8a485c0d17)
ma już nośnik zwarty i zawarty w
Ponadto
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}=\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9245f614ad0d27735670cf9a37981af2588b9399)
Całkę
po
definiujemy
![{\displaystyle \int _{M}\omega :=\sum _{i=1}^{k}\int _{U_{i}}\omega _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffc43bad7c29a5353342893a8b95d81dd82892c)
Ogólne twierdzenie Stokesa
Niech
będzie
-wymiarową zwartą zorientowaną rozmaitością różniczkową z brzegiem w
Jeżeli
jest
-formą na
to zachodzi
![{\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3943501f4a6faa59ee988ba895871e3a925e738)
gdzie
oznacza brzeg rozmaitości
Ogólne twierdzenie Stokesa zawiera w sobie twierdzenie Greena, twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa, klasyczne twierdzenie Stokesa i jeszcze nieskończenie wiele tego typu innych twierdzeń jako przypadki szczególne.
Formy różniczkowe na ogólnych rozmaitościach
Rozmaitości różniczkowe (zanurzone) w
są wystarczające na potrzeby wielu działów matematyki: analizy matematycznej, teorii optymalizacji, różniczkowych równań cząstkowych, nie są jednak wystarczające na potrzeby nowoczesnej fizyki. W fizyce rozmaitość różniczkowa modeluje czasoprzestrzeń jednakże użycie rozmaitości różniczkowych (zanurzonych) w
dla
rodziłoby wiele pytań:
(a) Dlaczego nie obserwujemy dodatkowych wymiarów?
(b) Jak wykryć dodatkowe wymiary?
(c) Ile wynosi
?
Itd. Z tego powodu rozmaitości różniczkowe (zanurzone) w
trzeba uogólnić na potrzeby fizyki. Robi się to „wymazując” odwołanie do
w definicji rozmaitości różniczkowej. Rozmaitość różniczkową definiuje się jako po prostu przestrzeń Hausdorffa (niekoniecznie podzbiór
) wraz ze zbiorem map na rozmaitości, czyli atlasem.
Takie ogólne rozmaitości mogą mieć znacznie bardziej skomplikowaną naturę. Poprzednie definicje przestrzeni stycznej i pochodnej funkcji
tracą sens. Teraz przestrzeń styczną
w punkcie
definiuje się jako zbiór krzywych przechodzących przez punkt
tzn. funkcji postaci
takich, że
przy czym utożsamia się ze sobą krzywe, które po przeniesieniu do
za pomocą układu współrzędnych
mają równy wektor styczny w zerze, tzn. dla których
[3].
Mówiąc ściślej wektory styczne definiuje się jako klasy abstrakcji względem relacji równoważności
zdefiniowanej powyższą równością. Ta relacja równoważności nie zależy od wyboru układu współrzędnych
Funkcja
dana wzorem
![{\displaystyle \Theta _{\varphi }([\gamma ]_{\sim }):=\left.{\frac {d}{dt}}(\varphi \circ \gamma )\right|_{t=0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27fe3b3ed5cb798189e750b889bb64be9acd2dcf)
jest bijekcją i pozwala przenieść strukturę przestrzeni liniowej z
do
tzn. dodawanie i mnożenie przez skalar wektorów stycznych definiuje się
![{\displaystyle [\gamma _{1}]_{\sim }+[\gamma _{2}]_{\sim }:=\Theta _{\varphi }^{-1}(\Theta _{\varphi }([\gamma _{1}]_{\sim })+\Theta _{\varphi }([\gamma _{2}]_{\sim })),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a98191ca4f929ef5b600b4df3a27ace3fbbeb0)
![{\displaystyle \alpha \cdot [\gamma ]_{\sim }:=\Theta _{\varphi }^{-1}(\alpha \cdot \Theta _{\varphi }([\gamma ]_{\sim })).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a898132786e6777e312d9f4077208c4ba52cf37f)
Za pomocą
można także zdefiniować pochodną funkcji postaci
tzn. funkcji pomiędzy rozmaitościami.
Mając przestrzeń styczną
można zdefiniować formę różniczkową na rozmaitości. Mając odwzorowanie styczne
można ją lokalnie wyrazić we współrzędnych
indukowanych przez mapę
Idea, konstrukcje i rozumowanie w przypadku form różniczkowych na ogólnych rozmaitościach pozostają takie same.
Przypisy
- ↑ a b M.M. Spivak M.M., Analiza matematyczna na rozmaitościach .brak strony (książka)
- ↑ J.Musielak, L.L. Skrzypczak L.L., Analiza matematyczna. Tom III. Część 2. brak strony (książka)
- ↑ W.W. Wojtyński W.W., Grupy i algebry Liego .brak strony (książka)
Bibliografia
- M. Spivak: Analiza matematyczna na rozmaitościach.brak strony w książce
- J. Musielak, L. Skrzypczak: Analiza matematyczna. Tom III, Część 2.brak strony w książce
- W. Wojtyński: Grupy i algebry Liego.brak strony w książce
Linki zewnętrzne
Differential form (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
- LCCN: sh85037916
- NDL: 00560655
- BnF: 122737106
- BNCF: 34083
- NKC: ph493955
- J9U: 987007552908705171