Endomorfizm Frobeniusa

Endomorfizm Frobeniusa – szczególny endomorfizm pierścieni przemiennych o charakterystyce wyrażającej się liczbą pierwszą ${\displaystyle p,}$ w szczególności ciał. Endomorfizm przekształca każdy element w jego ${\displaystyle p}$-tą potęgę. W niektórych okolicznościach endomorfizm ten jest automorfizmem, lecz nie jest to prawdą w ogólności. Nosi on miano od nazwiska Ferdinanda Georga Frobeniusa, matematyka.

Definicja

Niech ${\displaystyle R}$ będzie pierścieniem przemiennym o (dodatniej) charakterystyce wyrażającej się liczbą pierwszą ${\displaystyle p}$ (charakterystyka zawsze jest liczbą pierwszą, jeżeli pierścień jest przykładowo dziedziną całkowitości). Endomorfizm Frobeniusa ${\displaystyle F}$ określony jest wzorem

${\displaystyle F(r)=r^{p}}$

dla wszystkich elementów ${\displaystyle r\in R.}$ Jest on zgodny z mnożeniem w ${\displaystyle R,}$ gdyż

${\displaystyle F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s),}$

a ponadto widać, iż ${\displaystyle F(1)=1.}$ Interesujące jest jednak, że jest on również zgodny z dodawaniem w ${\displaystyle R.}$ Wyrażenie ${\displaystyle (r+s)^{p}}$ można rozwinąć za pomocą twierdzenia o dwumianie: ponieważ ${\displaystyle p}$ jest liczbą pierwszą, to dzieli ona ${\displaystyle p!,}$ lecz nie dzieli ${\displaystyle q!}$ dla ${\displaystyle q<p,}$ skąd wynika, że ${\displaystyle p}$ będzie dzielić licznik, ale nie mianownik jawnego wzoru na współczynniki dwumienne

${\displaystyle {\frac {p!}{k!(p-k)!}}}$

dla ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant p-1.}$ Dlatego też współczynniki wszystkich wyrazów poza ${\displaystyle r^{p}}$ oraz ${\displaystyle s^{p}}$ są podzielne przez ${\displaystyle p,}$ które jest charakterystyką, przez co znikają. Zatem

${\displaystyle F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s),}$

co dowodzi, że ${\displaystyle F}$ jest homomorfizmem pierścieni.

W ogólności ${\displaystyle F}$ nie jest automorfizmem. Niech ${\displaystyle K}$ będzie na ciałem ${\displaystyle \mathbf {F} _{p}(t),}$ tzn. ciałem skończonym o ${\displaystyle p}$ elementach z dołączonym jednym elementem przestępnym ${\displaystyle t.}$ Okazuje się, że obraz ${\displaystyle F}$ nie zawiera ${\displaystyle t,}$ co można pokazać przez sprzeczność: niech istnieje taki element ${\displaystyle K,}$ którego obrazem w ${\displaystyle F}$ jest ${\displaystyle t.}$ Element ten jest funkcją wymierną ${\displaystyle {\tfrac {q(t)}{r(t)}},}$ której ${\displaystyle p}$-ta potęga ${\displaystyle \left({\tfrac {q(t)}{r(t)}}\right)^{p},}$ wynosi ${\displaystyle t.}$ W związku z tym ${\displaystyle p(\deg q-\deg r)=1,}$ co jest niemożliwe. W ten sposób endomorfizm ${\displaystyle F}$ nie jest suriektywny, przez co nie jest automorfizmem.

Jest również możliwe, by ${\displaystyle F}$ nie było iniektywne; dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ${\displaystyle R}$ ma element nilpotentny rzędu nie większego niż ${\displaystyle p.}$

Punkty stałe

Niech ${\displaystyle R}$ będzie dziedziną całkowitości. Przekształcenie Frobeniusa przekształca na siebie wszystkie elementy ${\displaystyle R,}$ które spełniają równość ${\displaystyle x^{p}=x.}$ Są to wszystkie pierwiastki równania ${\displaystyle x^{p}-x,}$ a ponieważ jest ono stopnia ${\displaystyle p,}$ to może mieć ono co najwyżej ${\displaystyle p}$ rozwiązań. Są to dokładnie elementy ${\displaystyle 0,1,2,\ldots ,p-1.}$ Wynika stąd, że zbiór punktów stałych ${\displaystyle F}$ jest ciałem prostym.

Iterowanie odwzorowania Frobeniusa daje ciąg elementów ${\displaystyle R}$ postaci

${\displaystyle x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots }$

Przyłożenie ${\displaystyle e}$-tej iteracji ${\displaystyle F}$ do pierścienia zawierającego ciało ${\displaystyle K}$ o ${\displaystyle p^{e}}$ elementach daje, podobnie jak w powyższym przykładzie, zbiór punktów stałych równy ${\displaystyle K.}$ Iteracje przekształcenia Frobeniusa wykorzystuje się również do definiowania domknięcia Frobeniusa i domknięcia ciasnego (ang. tight closure) ideału.

Ciała skończone

Niech ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ oznacza ciało skończone o ${\displaystyle q}$ elementach, gdzie ${\displaystyle q=p^{e}.}$ Zgodnie z powyższym rozumowaniem ${\displaystyle F}$ ustala ${\displaystyle \mathbf {F} ^{p}.}$ Jeżeli ${\displaystyle e=2,}$ to ${\displaystyle F^{2},}$ druga iteracja przekształcenia Frobeniusa, ustala ${\displaystyle p^{2}}$ elementów, zatem ustala także ${\displaystyle \mathbf {F} ^{p^{2}}.}$ W ogólności ${\displaystyle F^{e}}$ ustala ${\displaystyle \mathbf {F} ^{p^{e}}.}$ Co więcej, ${\displaystyle F}$ generuje grupę Galois dowolnego rozszerzenia ciał skończonych.

Schematy

Korzystając z powyższej obserwacji łatwo rozszerzyć przekształcenie Frobeniusa na schematy. Niech ${\displaystyle X}$ będzie schematem nad ciałem ${\displaystyle k}$ charakterystyki ${\displaystyle p.}$ Wybierzmy dowolny podzbiór afiniczny ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} \;R}$ (zob. spektrum pierścienia). Ponieważ ${\displaystyle X}$ jest ${\displaystyle k}$-schematem, to ${\displaystyle k}$ zawiera się w ${\displaystyle R.}$ Powoduje to, iż ${\displaystyle R}$ musi być pierścieniem charakterystyki ${\displaystyle p,}$ dzięki czemu można zdefiniować endomorfizm Frobeniusa ${\displaystyle F}$ dla ${\displaystyle R}$ jak wyżej. Przekształcenie ${\displaystyle F}$ komutuje z lokalizacją, przez co ${\displaystyle F}$ skleja się dając endomorfizm ${\displaystyle X.}$

Jednakże ${\displaystyle F}$ nie musi być endomorfizmem ${\displaystyle k}$-schematów. Jeżeli ${\displaystyle k}$ nie jest ${\displaystyle \mathbf {F} ^{p},}$ to ${\displaystyle F}$ nie ustali ${\displaystyle k}$ i w konsekwencji nie będzie przekształceniem ${\displaystyle k}$-algebr. Częściowym rozwiązaniem tego problemu jest zwrócenie uwagi na zawieranie ${\displaystyle F(k)=k^{p}}$ w ${\displaystyle k{:}}$ ponieważ ${\displaystyle X}$ jest ${\displaystyle k}$-schematem, to jest także ${\displaystyle k^{p}}$-schematem. W ten sposób ${\displaystyle F}$ jest także odwzorowaniem ${\displaystyle k^{p}}$-schematów.

Ciała lokalne

Definicja ${\displaystyle F}$ dla schematów automatycznie przenosi się na definicje dla ciał lokalnych i globalnych, jednak ze względu na jasność opisu przypadki te zostaną potraktowane osobno.

Definicję endomorfizmu Frobeniusa dla ciał skończonych można rozszerzyć na inne rodzaje rozszerzeń ciał. Dla nierozgałęzionego rozszerzenia skończonego ${\displaystyle L/K}$ ciał lokalnych istnieje pojęcie endomorfizmu Frobieniusa, które indukuje endomorfizm Frobeniusa na odpowiadającym rozszerzeniu ciał reszt.

Niech ${\displaystyle L/K}$ będzie nierozgałęzionym rozszerzeniem ciał lokalnych wraz z pierścieniem liczb całkowitych ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ciała ${\displaystyle K}$ takim, że ciało reszt – liczby całkowite ${\displaystyle K}$ modulo ich jednoznacznie określony ideał maksymalny ${\displaystyle \varphi }$ – jest ciałem skończonym rzędu ${\displaystyle q.}$ Jeżeli ${\displaystyle \Phi }$ jest ideałem pierwszym ${\displaystyle L}$ nad ${\displaystyle \varphi ,}$ to nierozgałęzienie ${\displaystyle L/K}$ oznacza, że liczby całkowite ciała ${\displaystyle L}$ modulo ${\displaystyle \Phi ,}$ ciała reszt ${\displaystyle L,}$ jest ciałem skończonym rzędu ${\displaystyle q^{f}}$ stanowiącym rozszerzenie ciała reszt ${\displaystyle K,}$ gdzie ${\displaystyle f}$ oznacza stopień ${\displaystyle L/K.}$ Przekształcenie Frobeniusa można zdefiniować dla elementów pierścienia liczb całkowitych ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ciała ${\displaystyle L}$ wzorem

${\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi .}$

Ciała globalne

W algebraicznej teorii liczb elementy Frobeniusa są zdefiniowane dla rozszerzeń ${\displaystyle L/K}$ ciał globalnych, które są skończonymi rozszerzeniami Galois dla ideałów pierwszych ${\displaystyle \Phi }$ ciała ${\displaystyle L}$ nierozgałęzionych w ${\displaystyle L/K.}$ Ponieważ rozszerzenie jest nierozgałęzione, to grupa rozkładu ${\displaystyle \Phi }$ jest grupą Galois rozszerzenia ciał reszt. Element Frobeniusa może być określony dla elementów pierścienia liczb całkowitych ${\displaystyle L,}$ jak w przypadku lokalnym, wzorem

${\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi ,}$

gdzie ${\displaystyle q}$ jest rzędem ciała rozkładu ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\mod \Phi .}$

Podniesienia endomorfizmów Frobeniusa są związane z p-pochodnymi.

Przykłady

Wielomian ${\displaystyle x^{5}-x-1}$ ma wyróżnik równy ${\displaystyle 15\cdot 151,}$ jest więc nierozgałęziony dla liczby pierwszej ${\displaystyle 3;}$ jest także nierozkładalny modulo ${\displaystyle 3.}$ Dlatego dołączenie jego pierwiastka ${\displaystyle \rho }$ do ciała liczb ${\displaystyle 3}$-adycznych ${\displaystyle \mathbb {Q} _{3}}$ daje nierozgałęzione rozszerzenie ${\displaystyle \mathbb {Q} _{3}(\rho )}$ ciała ${\displaystyle \mathbb {Q} _{3}.}$ Można znaleźć obraz ${\displaystyle \rho }$ w przekształceniu Frobeniusa poprzez wskazanie pierwiastka najbliższego ${\displaystyle \rho ^{3}.}$ co można osiągnąć metodą Newtona. W ten sposób uzyskuje się element pierścienia liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}[\rho ];}$ jest to wielomian czwartego stopnia względem ${\displaystyle \rho }$ o współczynnikach będących ${\displaystyle 3}$-adycznymi liczbami całkowitymi ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}.}$ Wielomianem tym, modulo ${\displaystyle 3^{8},}$ jest

${\displaystyle \rho ^{3}+3(460+183\rho -354\rho ^{2}-979\rho ^{3}-575\rho ^{4}).}$

Jest on algebraiczny nad ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ i jest poprawnym obrazem endomorfizmu Frobeniusa w sensie zanurzenia ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ w ${\displaystyle \mathbb {Q} _{3};}$ co więcej algebraiczne są współczynniki, dlatego wynik może być wyrażony algebraicznie. Jednakże są one stopnia ${\displaystyle 120,}$ rzędu grupy Galois, co ilustruje fakt, iż obliczenia będą prostsze, jeżeli wystarczające będą wyniki ${\displaystyle p}$-adyczne.

Jeżeli ${\displaystyle L/K}$ jest rozszerzeniem abelowym ciał globalnych, to można uzyskać o wiele silniejsze przystawanie, ponieważ zależy ona tylko od elementu pierwszego ${\displaystyle \varphi }$ wyjściowego ciała ${\displaystyle K.}$ Rozważając przykładowo rozszerzenie ${\displaystyle \mathbb {Q} (\beta )}$ ciała ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ uzyskanego przez dołączenie pierwiastka ${\displaystyle \beta }$ spełniającego

${\displaystyle \beta ^{5}+\beta ^{4}-4\beta ^{3}-3\beta ^{2}+3\beta +1=0}$

do ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ widać, iż rozszerzenie to jest cykliczne rzędu piątego i ma pierwiastki

${\displaystyle 2\cos {\tfrac {2\pi n}{11}},}$

gdzie ${\displaystyle n}$ jest liczbą całkowitą. Ma ono pierwiastki będące wielomianami Czebyszewa zmiennej ${\displaystyle \beta {:}}$

${\displaystyle \beta ^{2}-2,\;\beta ^{3}-3\beta ,\;\beta ^{5}-5\beta ^{3}+5\beta }$

są wynikami przekształcenia Frobeniusa dla liczb pierwszych ${\displaystyle 2,3,5}$ i tak dalej, dla większych liczb pierwszych różnych od ${\displaystyle 11}$ lub postaci ${\displaystyle 22n+1}$ (które to są rozdzielcze). Widać wprost jak przekształcenie Frobeniusa daje wynik z dokładnością modulo ${\displaystyle p}$ dla ${\displaystyle p}$-tej potęgi pierwiastka ${\displaystyle \beta .}$

Zobacz też

• ciało doskonałe