Całkowanie przez części

Całkowanie przez części to jedna z metod obliczania zamkniętych form całek postaci:

${\displaystyle \int f(x)g(x)dx.}$

Jeśli potrafimy znaleźć takie ${\displaystyle h(x),}$ że ${\displaystyle h'(x)=f(x),}$ to możemy przekształcić tę całkę do postaci^[1]:

${\displaystyle \int f(x)g(x)dx=\int h'(x)g(x)dx=h(x)g(x)-\int h(x)g'(x)dx.}$

W przypadku całek oznaczonych granice całkowania uwzględnia się także w części równania zostającej poza całką:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}h'(x)g(x)dx=\left[h(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}h(x)g'(x)dx.}$

Często stosuje się zapis skrócony wzoru:

${\displaystyle \int udv=uv-\int vdu.}$

Dowód

Metoda całkowania przez części wynika ze wzoru na pochodną iloczynu:

${\displaystyle \left(h(x)g(x)\right)'=h(x)g'(x)+h'(x)g(x),}$

${\displaystyle h'(x)g(x)=\left(h(x)g(x)\right)'-h(x)g'(x),}$

${\displaystyle \int h'(x)g(x)dx=h(x)g(x)-\int h(x)g'(x)dx.}$

Całki pętlące się (zwrotne)

W przypadku całki z iloczynu funkcji, których kolejne pochodne powtarzają się okresowo, mamy do czynienia z tzw. całką pętlącą się (zwrotną), np.:

${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)dx.}$

Całka w wyrażeniu po prawej stronie równa się całce po lewej stronie, więc

${\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)dx=e^{x}(\cos(x)+\sin(x))+C,}$

${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)dx={\tfrac {1}{2}}e^{x}(\cos(x)+\sin(x))+C'.}$

Zobacz też

• całkowanie przez podstawienie

Przypisy