Potensmengde

Denne artikkelen mangler kildehenvisninger, og opplysningene i den kan dermed være vanskelige å verifisere. Kildeløst materiale kan bli fjernet. Helt uten kilder. (10. okt. 2015)

Definisjon

Potensmengde er et begrep innen matematikkfaget, nærmere bestemt innen disiplinen mengdelære. Potensmengden til en mengde ${\displaystyle A}$ er mengden av alle delmengder av ${\displaystyle A}$ og skrives ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$, altså ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{X:X\subseteq A\}}$. ^[1] En alternativ notasjon er ${\displaystyle 2^{A}}$.

Eksempler

Hvis, for eksempel ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$, så er

${\displaystyle 2^{A}=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.}$

Hvis ${\displaystyle A}$ er en endelig mengde som inneholder ${\displaystyle n}$ elementer, er antall elementer i potensmengden til ${\displaystyle A}$, nemlig kardinaliteten til potensmengden ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(A)|=2^{n}}$. (Dette forklarer notasjonen ${\displaystyle 2^{A}}$.) Man kan vise at kardinaliteten til ${\displaystyle 2^{A}}$ alltid er større enn kardinaliteten til ${\displaystyle A}$, også når ${\displaystyle A}$ er uendelig: se Cantors teorem.

Referanser