Maksimum og minimum

Et maksimum eller en maksimumsverdi er i matematikk et største element i en mengde. Tilsvarende er et minimum eller en minimumsverdi et minste element. For en funksjon er en maksimumsverdi den største verdien funksonen tar globalt eller lokalt.^[1]

En samlebetegnelse for maksimums- og minimumsverdier er ekstrema (flertall av ekstremum) eller ekstremalverdier (ikke til å forveksle med ekstremverdier).

For en mengde ${\displaystyle S}$ er en vanlig notasjon for maksimum og minimum ${\displaystyle \max S}$ og ${\displaystyle \min S}$, og for en funksjon ${\displaystyle f=f(x)}$ kan en tilsvarende skrive ${\displaystyle \max f}$ og ${\displaystyle \min f}$.

Karakterisering av ekstremalverdier er ofte viktig i analyse av både mengder og funksjoner, for eksempel i funksjonsdrøfting. I optimering er et viktig mål å lokalisere globale ekstremalverdier.

Maksimum og minimum i en mengde

I enkle tallmengder, som

${\displaystyle S_{1}=\{1,2,3,4,5\}\qquad \qquad S_{2}=[3,7]}$

kan en ha en intuitiv forståelse av hva som er det minste og det største elementet. Mer formelt er i mengdelære en totalt ordnet mengde en mengde der det gitt en binær relasjon som definerer rekkefølgen til samtlige element i mengden. En slik relasjon kan skrives som ${\displaystyle \leq }$, og relasonen skal oppfylle tre aksiomer:^[2]

1. Relasjonen er antisymmetrisk : Hvis ${\displaystyle a\leq b}$ og ${\displaystyle b\leq a}$, så er ${\displaystyle a=b}$.
2. Relasjonen er transitiv: Hvis ${\displaystyle a\leq b}$ og ${\displaystyle b\leq c}$, så er ${\displaystyle a\leq c}$.
3. Relasjonen er total, slik at for to elementer ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$, så er enten ${\displaystyle a\leq b}$ eller ${\displaystyle b\leq a}$.

Med grunnlag i en slik ulikhetsrelasjon kan en definere et største element i en mengde som

${\displaystyle \max S=x_{0}\in S\ :\ (\ \forall x\in S\ )(\ x\leq x_{0}\ )}$,

forutsatt at et slikt element eksisterer. En minimumsverdi defineres tilsvarende.

En gitt ordnet mengde kan ha ekstremalverdier, men det trenger ikke være tilfelle. To eksempler på mengder som ikke har ekstremalverdier er det åpne intervallet ${\displaystyle (a,b)}$ og mengden av reelle tall ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$.

Hvis ${\displaystyle S}$ er en delmengde av en større mengde ${\displaystyle A}$, så vil maksimum til ${\displaystyle S}$ eksistere kun dersom ${\displaystyle S}$ har en øvre skranke i ${\displaystyle A}$. Hvis maksimum eksisterer, så vil supremum og maksimum til ${\displaystyle S}$ være like.

Maksimum og minimum til en funksjon

Grunnleggende begrep

En reell funksjon ${\displaystyle f=f(x):D\to \mathbb {R} }$ av en eller flere variable kan ha flere ekstremalverdier. Et argument ${\displaystyle x}$ der funksjonen har en ekstremalverdi kalles et ekstremalpunkt, henholdsvis et maksimumspunkt eller et minimumspunkt.

De globale eller absolutte ekstremalverdiene til funksjonen er lik ekstremalverdiene til verdimengden til funksjonen, forutsatt at disse finnes. Dette vil være minste og største verdi som funksjonen har, for alle argument i definisjonsmengden. For den globale maksimalverdien gjelder at

${\displaystyle \max f=f(x_{0})\ {\text{for}}\ x_{0}\in D\quad {\text{hvis}}\quad (\ \forall x\in D\ )(\ f(x)\leq f(x_{0})\ )}$.

Den globale minimumsverdien defineres tilsvarende. En global ekstremalverdi kan svare til flere ekstremalpunkter.

En funksjon kan også ha en lokal (eller relativ) ekstremalverdi for et punkt ${\displaystyle x=x_{0}\in D}$, dersom definisjonmengden ${\displaystyle D}$ er et metrisk rom. I et slikt rom kan en definere en omegn ${\displaystyle I}$ om punktet ${\displaystyle x_{0}}$. Funksjonen har et lokalt ekstremalpunkt i ${\displaystyle x_{0}}$ dersom dette er et globalt ekstremalpunkt når funksjonen begrenses til å være definert i ${\displaystyle (D\cap I)}$. Ofte utelates ordet «lokal», for eksempel i en setning som «funksjonen har en maksimumsverdi for ${\displaystyle x=3}$», og det er da underforstått at maksimumsverdien er lokal.^[3] Et globalt maksimumspunkt er også et lokalt maksimumspunkt.

En lokalt eller globalt maksimumsverdi er en strikt eller streng maksimumsverdi, dersom relasjonen ${\displaystyle \leq }$ i definisjonen kan erstattes med streng ulikhet ${\displaystyle <}$.

Uformelt svarer enhver lokal topp i grafen til en kontinuerlig funksjon til en lokal maksimumsverdi.

Ekstremalpunkt for en reell funksjon av én variabel

En reell funksjon av én reell variabel er en funksjon ${\displaystyle f=f(x):D\to \mathbb {R} }$ der ${\displaystyle D\cap \mathbb {R} }$. Et ekstremalpunkt for en slik funksjon vil alltid være et kritisk punkt, det vil si et punkt ${\displaystyle x=x_{0}}$ av en av de tre følgende typene:^[3]

• Et punkt der funksjonen er deriverbar, og ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$. Slike punkt kalles stasjonære punkt.
• Et punkt der funksjonen ikke er deriverbar.
• Et endepunkt i et intervall som inngår i definisjonsmengden ${\displaystyle D}$.

For et punkt der funksjonen er deriverbar, er det altså et nødvendig vilkår for å ha et ekstremalpunkt at den deriverte av funksjonen er lik null.

For et punkt ${\displaystyle x=x_{0}}$ der en funksjon er deriverbar vil hver av de to følgende testene gi tilstrekkelige vilkår for at punktet er et maksimumspunkt:^[3]

• ${\displaystyle x=x_{0}}$ er et lokalt strengt maksimumspunkt dersom ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ og den deriverte skifter fortegn fra positiv til negativ når ${\displaystyle x}$ vokser gjennom ${\displaystyle x_{0}}$.
• ${\displaystyle x=x_{0}}$ er et lokalt strengt maksimumspunkt dersom ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ og ${\displaystyle f''(x_{0})<0}$.

Tilsvarende har en for et minimumspunkt:

• ${\displaystyle x=x_{0}}$ er et lokalt strengt minimumspunkt dersom ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ og den deriverte skifter fortegn fra negativ til positiv når ${\displaystyle x}$ vokser gjennom ${\displaystyle x_{0}}$.
• ${\displaystyle x=x_{0}}$ er et lokalt strengt minimumspunkt dersom ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ og ${\displaystyle f''(x_{0})>0}$.

Ekstremalverdisetningen

Ekstremalverdisetningen sier at dersom en reell funksjon er kontinuerlig på et lukket intervall ${\displaystyle [a,b]}$, må ${\displaystyle f}$ ha både en maksimums- og en minimumsverdi minst én gang på dette intervallet. Det vil si at det finnes tall ${\displaystyle c}$ og ${\displaystyle d}$ i [a, b] slik at^[4]

${\displaystyle f(c)\leq f(x)\leq f(d)\quad {\text{for alle }}x\in [a,b].}$

Ekstremalpunkt for et skalarfelt

Et skalarfelt er en reell funksjon av flere variable, på formen

${\displaystyle y=f(x):D\rightarrow \mathbb {R} \qquad D\subset \mathbb {R} ^{n}}$.

Argumentet ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})}$ er her en n-dimensjonal vektor.

Dersom et skalarfelt har partiell deriverte av første og andre orden, så er de to følgende vilkårene til sammen tilstrekkelig for at funksjonen skal ha en lokalt ekstremalverdi:^[5]

• Gradienten til funksjonen er lik null. Punkt der dette er oppfylt kalles stasjonære punkt.
• Egenverdiene til hessematrisen er alle positive, for en minimumsverdi, eller alle negative, for en maksimumsverdi.

Dersom hessematrisen har noen positive og noen negative egenverdier i et stasjonært punkt, så er dette et sadelpunkt.

Ekstremalpunkt for en funksjonal

En funksjonal er en funksjon fra et vektorrom ${\displaystyle V}$ inn i mengden av skalarer, vanligvis mengden av reelle tall:

${\displaystyle y=f(x):V\rightarrow \mathbb {R} }$.

Vektorrommet ${\displaystyle V}$ kan for eksempel være mengden av kontinuerlige funksjoner på et gitt intervall. Ekstremalverdiproblemer for funksjonaler studeres i variasjonsregning og i funksjonalanalyse.

Et nødvendig vilkår for at en funksjonal som er Gateaux-deriverbar skal ha en ekstremalverdi, er at Gateaux-deriverte i alle retninger er lik null.^[6]

Matematisk optimering

En type problemstilling i matematisk optimering er å finne ekstremalpunkt for en funksjonal, gitt et sett av sidevilkår på de uavhengige variable. Dersom sidevilkårene er gitt i form av likheter, så gir bruk av Lagrange-multiplikatorer en metode for å løse problemet.^[7] Et klassisk problem er å finne en funksjon ${\displaystyle x=x(t)}$, slik at kurven til funksjonen har en fast lengde ${\displaystyle L}$, faste endepunkt og samtidig avgrenser et maksimalt areal ${\displaystyle A}$. En matematisk formulering kan være å finne ${\displaystyle x(t)}$ som gir ${\displaystyle \max A(x)}$, når

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&A(x)=\int _{0}^{1}x(t)dt\\&x(0)=x(1)=0\\&\int _{0}^{1}{\sqrt {1+(x')^{2}}}dt=L\end{alignedat}}}$

Referanser

Litteratur

• Tom Lindstrøm (1995). Kalkulus. Oslo: Universitetsforlaget. ISBN 82-00-22472-4. 
• Tom M. Apostol (1969). Calculus. II. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00008-6. 
• Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6. 

Eksterne lenker

• (en) Eric W. Weisstein, Maxima and Minima i MathWorld.