Uniforme convergentie

In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, is uniforme convergentie een sterkere vorm van convergentie dan puntsgewijze convergentie. Een rij ${\displaystyle (f_{n}:V\to \mathbb {R} )}$ van functies convergeert uniform op ${\displaystyle V}$naar een limietfunctie ${\displaystyle f}$ als de snelheid van de convergentie voor alle ${\displaystyle x\in V}$ dezelfde is.

Definitie

De rij reëelwaardige functies ${\displaystyle (f_{n}:V\to \mathbb {R} )}$ met ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ op de verzameling ${\displaystyle V}$ heet uniform convergent met limietfunctie ${\displaystyle f:V\to \mathbb {R} }$, indien er voor iedere ${\displaystyle \varepsilon >0}$ een natuurlijk getal ${\displaystyle N}$ bestaat zodanig dat voor alle ${\displaystyle x\in V}$ en alle ${\displaystyle n\geq N}$ geldt dat ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon }$.

Alternatief geldt dat ${\displaystyle (f_{n})}$ dan en slechts dan uniform naar ${\displaystyle f}$ convergeert als

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ \sup _{x\in V}|f_{n}(x)-f(x)|=0}$.